Theorem projlem13 9114

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). The infimum of the set of norms is nonnegative. Used by projlem18 9119 projlem19 9120 projlem28 9129.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
projlem13	|- 0 <_ R

Distinct variable groups:   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.4	. . . 4 |- R = -usup(S, RR, < )
2		projlem11.1	. . . . . . 7 |- A e. H~
3		projlem11.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
4		projlem11.3	. . . . . . 7 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
5	2, 3, 4	projlem9 9110	. . . . . 6 |- sup(S, RR, < ) e. RR
6	5	recn 5286	. . . . 5 |- sup(S, RR, < ) e. CC
7	2, 3, 4, 1	projlem11 9112	. . . . . 6 |- R e. RR
8	7	recn 5286	. . . . 5 |- R e. CC
9	6, 8	negcon2 5380	. . . 4 |- (sup(S, RR, < ) = -uR <-> R = -usup(S, RR, < ))
10	1, 9	mpbir 190	. . 3 |- sup(S, RR, < ) = -uR
11		0re 5412	. . . . . 6 |- 0 e. RR
12	11	renegcl 5388	. . . . 5 |- -u0 e. RR
13		eqeq1 1473	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (u = -u(normh` (v -h A)) <-> z = -u(normh` (v -h A))))
14	13	rexbidv 1656	. . . . . . . 8 |- (u = z -> (E.v e. H u = -u(normh` (v -h A)) <-> E.v e. H z = -u(normh` (v -h A))))
15	14, 4	elrab2 1898	. . . . . . 7 |- (z e. S <-> (z e. RR /\ E.v e. H z = -u(normh` (v -h A))))
16		lenltt 5482	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ -u0 e. RR) -> (z <_ -u0 <-> -. -u0 < z))
17	12, 16	mpan2 694	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> (z <_ -u0 <-> -. -u0 < z))
18		breq1 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = -u(normh` (v -h A)) -> (z <_ -u0 <-> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0))
19	3	chel 9023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. H -> v e. H~)
20	19, 2	jctir 293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. H -> (v e. H~ /\ A e. H~))
21		hvsubclt 8808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. H~ /\ A e. H~) -> (v -h A) e. H~)
22		normge0t 8913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v -h A) e. H~ -> 0 <_ (normh` (v -h A)))
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. H -> 0 <_ (normh` (v -h A)))
24		normclt 8912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v -h A) e. H~ -> (normh` (v -h A)) e. RR)
25	20, 21, 24	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. H -> (normh` (v -h A)) e. RR)
26	25, 11	jctil 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. H -> (0 e. RR /\ (normh` (v -h A)) e. RR))
27		lenegt 5630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((0 e. RR /\ (normh` (v -h A)) e. RR) -> (0 <_ (normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. H -> (0 <_ (normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0))
29	23, 28	mpbid 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. H -> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0)
30	18, 29	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = -u(normh` (v -h A)) -> (v e. H -> z <_ -u0))
31	30	impcom 351	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. H /\ z = -u(normh` (v -h A))) -> z <_ -u0)
32	17, 31	syl5bi 208	. . . . . . . . . 10 |- (z e. RR -> ((v e. H /\ z = -u(normh` (v -h A))) -> -. -u0 < z))
33	32	exp3a 375	. . . . . . . . 9 |- (z e. RR -> (v e. H -> (z = -u(normh` (v -h A)) -> -. -u0 < z)))
34	33	r19.23adv 1738	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (E.v e. H z = -u(normh` (v -h A)) -> -. -u0 < z))
35	34	imp 350	. . . . . . 7 |- ((z e. RR /\ E.v e. H z = -u(normh` (v -h A))) -> -. -u0 < z)
36	15, 35	sylbi 199	. . . . . 6 |- (z e. S -> -. -u0 < z)
37	36	rgen 1690	. . . . 5 |- A.z e. S -. -u0 < z
38		ltso 5484	. . . . . 6 |- < Or RR
39	2, 3, 4	projlem8 9109	. . . . . . 7 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
40	39	sup3i 6007	. . . . . 6 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z))
41	38, 40	supnubi 4561	. . . . 5 |- ((-u0 e. RR /\ A.z e. S -. -u0 < z) -> -. -u0 < sup(S, RR, < ))
42	12, 37, 41	mp2an 695	. . . 4 |- -. -u0 < sup(S, RR, < )
43	5, 12	lenlt 5551	. . . 4 |- (sup(S, RR, < ) <_ -u0 <-> -. -u0 < sup(S, RR, < ))
44	42, 43	mpbir 190	. . 3 |- sup(S, RR, < ) <_ -u0
45	10, 44	eqbrtrr 2626	. 2 |- -uR <_ -u0
46	11, 7	leneg 5578	. 2 |- (0 <_ R <-> -uR <_ -u0)
47	45, 46	mpbir 190	1 |- 0 <_ R

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206  -ucneg 5265   <_ cle 5267   < clt 5458  H~chil 8727   -h cmv 8731  normhcno 8733  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  projlem18 9119  projlem19 9120  projlem28 9129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 8997  df-ch 9013

Copyright terms: Public domain