Theorem projlem17 9197

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). This uses the Axiom of Choice to show the existence of a vector sequence satisfying the assumption of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100: "Let {y_n } be a sequence of W such that i₀ - 1/n < ||x₀ - y_n || < i₀ + 1/n." Here, H corresponds to "W"; f:NN-->H to "{y_n }"; w to "n"; R to "i₀ "; and (norm` (A -h (f` w))) to "||x₀ - y_n ||". Used by projlem 9212.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
projlem17	|- E.f(f:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (normh` ((f` w) -h A)) /\ (normh` ((f` w) -h A)) < (R + (1 / w))))

Distinct variable groups:   v,u,w,f,A   u,H,v,w,f   w,S   w,R,f

Proof of Theorem projlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 5935	. . 3 |- NN e. V
2		projlem11.2	. . . 4 |- H e. CH
3	2	elisseti 1821	. . 3 |- H e. V
4		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (z = (f` w) -> (z -h A) = ((f` w) -h A))
5	4	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (z = (f` w) -> (normh` (z -h A)) = (normh` ((f` w) -h A)))
6	5	breq2d 2635	. . . 4 |- (z = (f` w) -> ((R - (1 / w)) < (normh` (z -h A)) <-> (R - (1 / w)) < (normh` ((f` w) -h A))))
7	5	breq1d 2634	. . . 4 |- (z = (f` w) -> ((normh` (z -h A)) < (R + (1 / w)) <-> (normh` ((f` w) -h A)) < (R + (1 / w))))
8	6, 7	anbi12d 630	. . 3 |- (z = (f` w) -> (((R - (1 / w)) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / w))) <-> ((R - (1 / w)) < (normh` ((f` w) -h A)) /\ (normh` ((f` w) -h A)) < (R + (1 / w)))))
9	1, 3, 8	ac6 4765	. 2 |- (A.w e. NN E.z e. H ((R - (1 / w)) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / w))) -> E.f(f:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (normh` ((f` w) -h A)) /\ (normh` ((f` w) -h A)) < (R + (1 / w)))))
10		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (1 / w) = (1 / if(w e. NN, w, 1)))
11	10	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (R - (1 / w)) = (R - (1 / if(w e. NN, w, 1))))
12	11	breq1d 2634	. . . . 5 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((R - (1 / w)) < (normh` (z -h A)) <-> (R - (1 / if(w e. NN, w, 1))) < (normh` (z -h A))))
13	10	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (R + (1 / w)) = (R + (1 / if(w e. NN, w, 1))))
14	13	breq2d 2635	. . . . 5 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((normh` (z -h A)) < (R + (1 / w)) <-> (normh` (z -h A)) < (R + (1 / if(w e. NN, w, 1)))))
15	12, 14	anbi12d 630	. . . 4 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (((R - (1 / w)) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / w))) <-> ((R - (1 / if(w e. NN, w, 1))) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / if(w e. NN, w, 1))))))
16	15	rexbidv 1667	. . 3 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (E.z e. H ((R - (1 / w)) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / w))) <-> E.z e. H ((R - (1 / if(w e. NN, w, 1))) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / if(w e. NN, w, 1))))))
17		projlem11.1	. . . 4 |- A e. H~
18		projlem11.3	. . . 4 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
19		projlem11.4	. . . 4 |- R = -usup(S, RR, < )
20		1nn 5936	. . . . 5 |- 1 e. NN
21	20	elimel 2398	. . . 4 |- if(w e. NN, w, 1) e. NN
22	17, 2, 18, 19, 21	projlem16 9196	. . 3 |- E.z e. H ((R - (1 / if(w e. NN, w, 1))) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / if(w e. NN, w, 1))))
23	16, 22	dedth 2387	. 2 |- (w e. NN -> E.z e. H ((R - (1 / w)) < (normh` (z -h A)) /\ (normh` (z -h A)) < (R + (1 / w))))
24	9, 23	mprg 1703	1 |- E.f(f:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (normh` ((f` w) -h A)) /\ (normh` ((f` w) -h A)) < (R + (1 / w))))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651  ifcif 2365   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304  -ucneg 5305   / cdiv 5306  NNcn 5308   < clt 5498  H~chil 8783   -h cmv 8787  normhcno 8789  CHcch 8793

This theorem is referenced by:  projlem 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-sh 9071  df-ch 9087

Copyright terms: Public domain