Theorem projlem19 9120

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. Used by projlem20 9121.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem19.5	|- B e. H
projlem19.6	|- C e. H
projlem19.7	|- D e. NN
projlem19.8	|- G e. NN
projlem19.9	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
projlem19	|- (((normh` (B -h A)) < (R + (1 / D)) /\ (normh` (C -h A)) < (R + (1 / G))) -> ((N <_ D /\ N <_ G) -> (normh` (B -h C)) < (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / N))))

Distinct variable groups:   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.1	. 2 |- A e. H~
2		projlem11.2	. . 3 |- H e. CH
3		projlem19.5	. . 3 |- B e. H
4	2, 3	cheli 9024	. 2 |- B e. H~
5		projlem19.6	. . 3 |- C e. H
6	2, 5	cheli 9024	. 2 |- C e. H~
7		projlem11.3	. . 3 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
8		projlem11.4	. . 3 |- R = -usup(S, RR, < )
9	1, 2, 7, 8	projlem11 9112	. 2 |- R e. RR
10	1, 2, 7, 8	projlem13 9114	. 2 |- 0 <_ R
11	1, 2, 7, 8, 3, 5	projlem18 9119	. 2 |- (4 x. (R^2)) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)
12		projlem19.7	. 2 |- D e. NN
13		projlem19.8	. 2 |- G e. NN
14		projlem19.9	. 2 |- N e. NN
15	1, 4, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14	projlem7 9108	1 |- (((normh` (B -h A)) < (R + (1 / D)) /\ (normh` (C -h A)) < (R + (1 / G))) -> ((N <_ D /\ N <_ G) -> (normh` (B -h C)) < (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / N))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  {crab 1640   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211  -ucneg 5265   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458  2c2 5908  4c4 5910  sqrcsqr 6599  H~chil 8727   -h cmv 8731  normhcno 8733  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  projlem20 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 8997  df-ch 9013

Copyright terms: Public domain