Theorem projlem2 9182

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. We need the square root for the norm limit. Used by projlem28 9208.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem1.1	|- R e. RR
projlem1.2	|- D e. RR
projlem2.3	|- 0 <_ R

Assertion

Ref	Expression
projlem2	|- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Distinct variable groups:   z,R   z,D

Proof of Theorem projlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem1.1	. . 3 |- R e. RR
2		projlem1.2	. . 3 |- D e. RR
3	1, 2	projlem1 9181	. 2 |- (0 < D -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2))
4		lt2sqt 6631	. . . . . 6 |- ((((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))) /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
5		sqrclt 6711	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
6		redivclt 5802	. . . . . . . . . 10 |- (((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
7	6	3expa 835	. . . . . . . . 9 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR) /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
8		nnret 5931	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> z e. RR)
9		4re 5984	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
10		2re 5981	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
11	10, 1	remulcl 5347	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. R) e. RR
12		1re 5447	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
13	11, 12	readdcl 5346	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. R) + 1) e. RR
14	9, 13	remulcl 5347	. . . . . . . . . 10 |- (4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR
15	8, 14	jctil 292	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR))
16		nnne0t 5951	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z =/= 0)
17	7, 15, 16	sylanc 473	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
18		0re 5452	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
19		4pos 5994	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
20		2pos 5991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
21	18, 10, 20	ltlei 5593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
22		projlem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ R
23	10, 1	mulge0 5619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (2 x. R))
24	21, 22, 23	mp2an 699	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ (2 x. R)
25		lt01 5692	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
26	11, 12	addgegt0 5612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ (2 x. R) /\ 0 < 1) -> 0 < ((2 x. R) + 1))
27	24, 25, 26	mp2an 699	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ((2 x. R) + 1)
28	9, 13, 19, 27	mulgt0i 5620	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < (4 x. ((2 x. R) + 1))
29	18, 14, 28	ltlei 5593	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))
30		divge0t 5858	. . . . . . . . . 10 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
31	14, 29, 30	mpanl12 710	. . . . . . . . 9 |- ((z e. RR /\ 0 < z) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
32		nngt0t 5948	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> 0 < z)
33	31, 8, 32	sylanc 473	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
34	5, 17, 33	sylanc 473	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
35		sqrge0t 6713	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
36	35, 17, 33	sylanc 473	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
37	34, 36	jca 288	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))))
38	18, 2	ltle 5592	. . . . . . 7 |- (0 < D -> 0 <_ D)
39	38, 2	jctil 292	. . . . . 6 |- (0 < D -> (D e. RR /\ 0 <_ D))
40	4, 37, 39	syl2an 456	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ 0 < D) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
41	40	ancoms 438	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
42		sqsqrt 6724	. . . . . . 7 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
43	42, 17, 33	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
44	43	breq1d 2634	. . . . 5 |- (z e. NN -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
45	44	adantl 390	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
46	41, 45	bitrd 530	. . 3 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
47	46	rexbidva 1663	. 2 |- (0 < D -> (E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
48	3, 47	mpbird 196	1 |- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498  2c2 5963  4c4 5965  ^cexp 6569  sqrcsqr 6670

This theorem is referenced by:  projlem28 9208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671

Copyright terms: Public domain