Theorem projlem24 9204

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. Here we show our vector sequence implies the real numbers sequence G corresponding to Beran's "{||yn-x0||}". Used by projlem25 9205 projlem26 9206.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem23.1	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (normh` ((F` x) -h A)))}
projlem24.2	|- A e. H~

Assertion

Ref	Expression
projlem24	|- (F:NN-->H~ -> G:NN-->CC)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem projlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. . . . . 6 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> (F` x) e. H~)
2		projlem24.2	. . . . . 6 |- A e. H~
3	1, 2	jctir 293	. . . . 5 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> ((F` x) e. H~ /\ A e. H~))
4		hvsubclt 8882	. . . . 5 |- (((F` x) e. H~ /\ A e. H~) -> ((F` x) -h A) e. H~)
5	3, 4	syl 10	. . . 4 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> ((F` x) -h A) e. H~)
6		normclt 8986	. . . 4 |- (((F` x) -h A) e. H~ -> (normh` ((F` x) -h A)) e. RR)
7		recnt 5325	. . . 4 |- ((normh` ((F` x) -h A)) e. RR -> (normh` ((F` x) -h A)) e. CC)
8	5, 6, 7	3syl 20	. . 3 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> (normh` ((F` x) -h A)) e. CC)
9	8	r19.21aiva 1717	. 2 |- (F:NN-->H~ -> A.x e. NN (normh` ((F` x) -h A)) e. CC)
10		projlem23.1	. . 3 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (normh` ((F` x) -h A)))}
11	10	fopab2 3829	. 2 |- (A.x e. NN (normh` ((F` x) -h A)) e. CC <-> G:NN-->CC)
12	9, 11	sylib 198	1 |- (F:NN-->H~ -> G:NN-->CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  NNcn 5308  H~chil 8783   -h cmv 8787  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  projlem25 9205  projlem26 9206

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain