Theorem projlem4 9128

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101, top. Used by projlem6 9130.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem4.1	|- R e. RR
projlem4.2	|- 0 <_ R
projlem4.3	|- D e. NN
projlem4.4	|- G e. NN
projlem4.5	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
projlem4	|- ((B <_ D /\ B <_ G) -> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B))

Proof of Theorem projlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem4.3	. . . . . 6 |- D e. NN
2	1	nnre 5887	. . . . 5 |- D e. RR
3	1	nnne0 5907	. . . . 5 |- D =/= 0
4	2, 3	rereccl 5765	. . . 4 |- (1 / D) e. RR
5		projlem4.4	. . . . . 6 |- G e. NN
6	5	nnre 5887	. . . . 5 |- G e. RR
7	5	nnne0 5907	. . . . 5 |- G =/= 0
8	6, 7	rereccl 5765	. . . 4 |- (1 / G) e. RR
9		projlem4.5	. . . . . 6 |- B e. NN
10	9	nnre 5887	. . . . 5 |- B e. RR
11	9	nnne0 5907	. . . . 5 |- B =/= 0
12	10, 11	rereccl 5765	. . . 4 |- (1 / B) e. RR
13	4, 8, 12, 12	le2add 5579	. . 3 |- (((1 / D) <_ (1 / B) /\ (1 / G) <_ (1 / B)) -> ((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)))
14	9	nngt0 5906	. . . 4 |- 0 < B
15	1	nngt0 5906	. . . 4 |- 0 < D
16	10, 2	lerec 5836	. . . 4 |- ((0 < B /\ 0 < D) -> (B <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / B)))
17	14, 15, 16	mp2an 696	. . 3 |- (B <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / B))
18	5	nngt0 5906	. . . 4 |- 0 < G
19	10, 6	lerec 5836	. . . 4 |- ((0 < B /\ 0 < G) -> (B <_ G <-> (1 / G) <_ (1 / B)))
20	14, 18, 19	mp2an 696	. . 3 |- (B <_ G <-> (1 / G) <_ (1 / B))
21	13, 17, 20	syl2anb 455	. 2 |- ((B <_ D /\ B <_ G) -> ((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)))
22		2cn 5935	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
23		2re 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
24		projlem4.1	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. RR
25	23, 24	remulcl 5315	. . . . . . . . . . 11 |- (2 x. R) e. RR
26	25	recn 5294	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. R) e. CC
27		ax1cn 5249	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
28	22, 26, 27	adddi 5306	. . . . . . . . 9 |- (2 x. ((2 x. R) + 1)) = ((2 x. (2 x. R)) + (2 x. 1))
29	24	recn 5294	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. CC
30	22, 22, 29	mulass 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. 2) x. R) = (2 x. (2 x. R))
31		2t2e4 5977	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. 2) = 4
32	31	opreq1i 3962	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. 2) x. R) = (4 x. R)
33	30, 32	eqtr3 1494	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. (2 x. R)) = (4 x. R)
34	22	mulid1 5312	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. 1) = 2
35	33, 34	opreq12i 3964	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. (2 x. R)) + (2 x. 1)) = ((4 x. R) + 2)
36	28, 35	eqtr2 1493	. . . . . . . 8 |- ((4 x. R) + 2) = (2 x. ((2 x. R) + 1))
37	36, 34	opreq12i 3964	. . . . . . 7 |- (((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1)) = ((2 x. ((2 x. R) + 1)) x. 2)
38		1re 5415	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
39	25, 38	readdcl 5314	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. R) + 1) e. RR
40	39	recn 5294	. . . . . . . 8 |- ((2 x. R) + 1) e. CC
41	22, 22, 40	mul23 5404	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((2 x. R) + 1)) = ((2 x. ((2 x. R) + 1)) x. 2)
42	31	opreq1i 3962	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((2 x. R) + 1)) = (4 x. ((2 x. R) + 1))
43	37, 41, 42	3eqtr2r 1499	. . . . . 6 |- (4 x. ((2 x. R) + 1)) = (((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1))
44	43	opreq1i 3962	. . . . 5 |- ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) = ((((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1)) / B)
45		4re 5937	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
46	45, 24	remulcl 5315	. . . . . . . 8 |- (4 x. R) e. RR
47	46, 23	readdcl 5314	. . . . . . 7 |- ((4 x. R) + 2) e. RR
48	47	recn 5294	. . . . . 6 |- ((4 x. R) + 2) e. CC
49	22, 27	mulcl 5301	. . . . . 6 |- (2 x. 1) e. CC
50	9	nncn 5888	. . . . . 6 |- B e. CC
51	48, 49, 50, 11	divass 5717	. . . . 5 |- ((((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1)) / B) = (((4 x. R) + 2) x. ((2 x. 1) / B))
52	22, 27, 50, 11	divass 5717	. . . . . . 7 |- ((2 x. 1) / B) = (2 x. (1 / B))
53	12	recn 5294	. . . . . . . 8 |- (1 / B) e. CC
54	53	2times 5958	. . . . . . 7 |- (2 x. (1 / B)) = ((1 / B) + (1 / B))
55	52, 54	eqtr 1492	. . . . . 6 |- ((2 x. 1) / B) = ((1 / B) + (1 / B))
56	55	opreq2i 3963	. . . . 5 |- (((4 x. R) + 2) x. ((2 x. 1) / B)) = (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B)))
57	44, 51, 56	3eqtr 1496	. . . 4 |- ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) = (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B)))
58	57	breq2i 2622	. . 3 |- ((((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) <-> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B))))
59		0re 5420	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
60		4pos 5947	. . . . . . 7 |- 0 < 4
61	59, 45, 60	ltlei 5562	. . . . . 6 |- 0 <_ 4
62		projlem4.2	. . . . . 6 |- 0 <_ R
63	45, 24	mulge0 5589	. . . . . 6 |- ((0 <_ 4 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (4 x. R))
64	61, 62, 63	mp2an 696	. . . . 5 |- 0 <_ (4 x. R)
65		2pos 5944	. . . . 5 |- 0 < 2
66	46, 23	addgegt0 5582	. . . . 5 |- ((0 <_ (4 x. R) /\ 0 < 2) -> 0 < ((4 x. R) + 2))
67	64, 65, 66	mp2an 696	. . . 4 |- 0 < ((4 x. R) + 2)
68	4, 8	readdcl 5314	. . . . 5 |- ((1 / D) + (1 / G)) e. RR
69	12, 12	readdcl 5314	. . . . 5 |- ((1 / B) + (1 / B)) e. RR
70	68, 69, 47	lemul2 5800	. . . 4 |- (0 < ((4 x. R) + 2) -> (((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)) <-> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B)))))
71	67, 70	ax-mp 7	. . 3 |- (((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)) <-> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B))))
72	58, 71	bitr4 176	. 2 |- ((((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) <-> ((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)))
73	21, 72	sylibr 200	1 |- ((B <_ D /\ B <_ G) -> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  2c2 5916  4c4 5918

This theorem is referenced by:  projlem6 9130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927

Copyright terms: Public domain