Theorem projlem8 9109

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. The set S is a non-empty set of reals with an upper bound. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. Used by projlem9 9110 projlem12 9113 projlem13 9114 projlem15 9116. Note we use 'supremum'; its negative is the infimum.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem8.1	|- A e. H~
projlem8.2	|- H e. CH
projlem8.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}

Assertion

Ref	Expression
projlem8	|- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. S w <_ z)

Distinct variable groups:   v,u,z,w,A   u,H,v,z,w   w,S,z

Proof of Theorem projlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem8.3	. . 3 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
2		ssrab2 2121	. . 3 |- {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))} (_ RR
3	1, 2	eqsstr 2081	. 2 |- S (_ RR
4		eqeq1 1473	. . . . . . 7 |- (u = -u(normh` (0h -h A)) -> (u = -u(normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (v -h A))))
5	4	rexbidv 1656	. . . . . 6 |- (u = -u(normh` (0h -h A)) -> (E.v e. H u = -u(normh` (v -h A)) <-> E.v e. H -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (v -h A))))
6	5	elrab 1896	. . . . 5 |- (-u(normh` (0h -h A)) e. {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))} <-> (-u(normh` (0h -h A)) e. RR /\ E.v e. H -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (v -h A))))
7		ax-hv0cl 8794	. . . . . . . 8 |- 0h e. H~
8		projlem8.1	. . . . . . . 8 |- A e. H~
9	7, 8	hvsubcl 8812	. . . . . . 7 |- (0h -h A) e. H~
10	9	normcl 8919	. . . . . 6 |- (normh` (0h -h A)) e. RR
11	10	renegcl 5388	. . . . 5 |- -u(normh` (0h -h A)) e. RR
12		projlem8.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
13		ch0 9019	. . . . . . 7 |- (H e. CH -> 0h e. H)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. H
15		eqid 1468	. . . . . 6 |- -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (0h -h A))
16		opreq1 3953	. . . . . . . . . 10 |- (v = 0h -> (v -h A) = (0h -h A))
17	16	fveq2d 3713	. . . . . . . . 9 |- (v = 0h -> (normh` (v -h A)) = (normh` (0h -h A)))
18	17	negeqd 5333	. . . . . . . 8 |- (v = 0h -> -u(normh` (v -h A)) = -u(normh` (0h -h A)))
19	18	eqeq2d 1478	. . . . . . 7 |- (v = 0h -> (-u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (0h -h A))))
20	19	rcla4ev 1868	. . . . . 6 |- ((0h e. H /\ -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (0h -h A))) -> E.v e. H -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (v -h A)))
21	14, 15, 20	mp2an 695	. . . . 5 |- E.v e. H -u(normh` (0h -h A)) = -u(normh` (v -h A))
22	6, 11, 21	mpbir2an 728	. . . 4 |- -u(normh` (0h -h A)) e. {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
23	22, 1	eleqtrr 1539	. . 3 |- -u(normh` (0h -h A)) e. S
24		ne0i 2276	. . 3 |- (-u(normh` (0h -h A)) e. S -> S =/= (/))
25	23, 24	ax-mp 7	. 2 |- S =/= (/)
26		0re 5412	. . 3 |- 0 e. RR
27		eqeq1 1473	. . . . . . 7 |- (u = w -> (u = -u(normh` (v -h A)) <-> w = -u(normh` (v -h A))))
28	27	rexbidv 1656	. . . . . 6 |- (u = w -> (E.v e. H u = -u(normh` (v -h A)) <-> E.v e. H w = -u(normh` (v -h A))))
29	28, 1	elrab2 1898	. . . . 5 |- (w e. S <-> (w e. RR /\ E.v e. H w = -u(normh` (v -h A))))
30		breq1 2612	. . . . . . . 8 |- (w = -u(normh` (v -h A)) -> (w <_ 0 <-> -u(normh` (v -h A)) <_ 0))
31	12	chel 9023	. . . . . . . . . 10 |- (v e. H -> v e. H~)
32	31, 8	jctir 293	. . . . . . . . 9 |- (v e. H -> (v e. H~ /\ A e. H~))
33		hvsubclt 8808	. . . . . . . . 9 |- ((v e. H~ /\ A e. H~) -> (v -h A) e. H~)
34		normge0t 8913	. . . . . . . . . 10 |- ((v -h A) e. H~ -> 0 <_ (normh` (v -h A)))
35		normclt 8912	. . . . . . . . . . 11 |- ((v -h A) e. H~ -> (normh` (v -h A)) e. RR)
36		le0neg2t 5644	. . . . . . . . . . 11 |- ((normh` (v -h A)) e. RR -> (0 <_ (normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (v -h A)) <_ 0))
37	35, 36	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((v -h A) e. H~ -> (0 <_ (normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (v -h A)) <_ 0))
38	34, 37	mpbid 195	. . . . . . . . 9 |- ((v -h A) e. H~ -> -u(normh` (v -h A)) <_ 0)
39	32, 33, 38	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (v e. H -> -u(normh` (v -h A)) <_ 0)
40	30, 39	syl5cbir 211	. . . . . . 7 |- (v e. H -> (w = -u(normh` (v -h A)) -> w <_ 0))
41	40	r19.23aiv 1735	. . . . . 6 |- (E.v e. H w = -u(normh` (v -h A)) -> w <_ 0)
42	41	adantl 388	. . . . 5 |- ((w e. RR /\ E.v e. H w = -u(normh` (v -h A))) -> w <_ 0)
43	29, 42	sylbi 199	. . . 4 |- (w e. S -> w <_ 0)
44	43	rgen 1690	. . 3 |- A.w e. S w <_ 0
45		breq2 2613	. . . . 5 |- (z = 0 -> (w <_ z <-> w <_ 0))
46	45	ralbidv 1655	. . . 4 |- (z = 0 -> (A.w e. S w <_ z <-> A.w e. S w <_ 0))
47	46	rcla4ev 1868	. . 3 |- ((0 e. RR /\ A.w e. S w <_ 0) -> E.z e. RR A.w e. S w <_ z)
48	26, 44, 47	mp2an 695	. 2 |- E.z e. RR A.w e. S w <_ z
49	3, 25, 48	3pm3.2i 816	1 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. S w <_ z)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  -ucneg 5265   <_ cle 5267  H~chil 8727  0hc0v 8730   -h cmv 8731  normhcno 8733  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  projlem9 9110  projlem12 9113  projlem13 9114  projlem15 9116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 8997  df-ch 9013

Copyright terms: Public domain