MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prss Unicode version

Theorem prss 3710
Description: A pair of elements of a class is a subset of the class. Theorem 7.5 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
prss.1  |-  A  e. 
_V
prss.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
prss  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  { A ,  B }  C_  C )

Proof of Theorem prss
StepHypRef Expression
1 unss 3291 . 2  |-  ( ( { A }  C_  C  /\  { B }  C_  C )  <->  ( { A }  u.  { B } )  C_  C
)
2 prss.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
32snss 3689 . . 3  |-  ( A  e.  C  <->  { A }  C_  C )
4 prss.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
54snss 3689 . . 3  |-  ( B  e.  C  <->  { B }  C_  C )
63, 5anbi12i 681 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  ( { A }  C_  C  /\  { B }  C_  C ) )
7 df-pr 3588 . . 3  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
87sseq1i 3144 . 2  |-  ( { A ,  B }  C_  C  <->  ( { A }  u.  { B } )  C_  C
)
91, 6, 83bitr4i 270 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  { A ,  B }  C_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   _Vcvv 2740    u. cun 3092    C_ wss 3094   {csn 3581   {cpr 3582
This theorem is referenced by:  tpss  3720  prsspw  3726  uniintsn  3840  pwssun  4236  xpsspwOLD  4751  dffv2  5491  fiint  7066  wunex2  8293  hashfun  11319  prdsle  13288  prdsless  13289  prdsleval  13303  pwsle  13318  acsfn2  13492  clatl  14147  ipoval  14184  ipolerval  14186  eqgfval  14592  eqgval  14593  gaorb  14688  efgcpbllema  14990  frgpuplem  15008  drngnidl  15908  drnglpir  15932  ltbval  16140  ltbwe  16141  opsrle  16144  opsrtoslem1  16152  thlle  16524  isphtpc  18419  shincli  21866  chincli  21964  altxpsspw  23851  axlowdimlem4  23913  toplat  24622  pgapspf2  25385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-v 2742  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-sn 3587  df-pr 3588
  Copyright terms: Public domain W3C validator