MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prub Unicode version

Theorem prub 8572
Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prub  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  B  <Q  C ) )

Proof of Theorem prub
StepHypRef Expression
1 eleq1 2316 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( B  e.  A  <->  C  e.  A ) )
21biimpcd 217 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  A ) )
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  A
) )
4 prcdnq 8571 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  A )
)
53, 4jaod 371 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( ( B  =  C  \/  C  <Q  B )  ->  C  e.  A ) )
65con3d 127 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
76adantr 453 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
8 elprnq 8569 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  Q. )
9 ltsonq 8547 . . . 4  |-  <Q  Or  Q.
10 sotric 4298 . . . 4  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. ) )  -> 
( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
119, 10mpan 654 . . 3  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
128, 11sylan 459 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
137, 12sylibrd 227 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  B  <Q  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3983    Or wor 4271   Q.cnq 8428    <Q cltq 8434   P.cnp 8435
This theorem is referenced by:  genpnnp  8583  psslinpr  8609  ltexprlem6  8619  ltexprlem7  8620  prlem936  8625  reclem4pr  8628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ni 8450  df-mi 8452  df-lti 8453  df-ltpq 8488  df-enq 8489  df-nq 8490  df-ltnq 8496  df-np 8559
  Copyright terms: Public domain W3C validator