MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prunioo Structured version   Unicode version

Theorem prunioo 11027
Description: The closure of an open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
prunioo  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem prunioo
StepHypRef Expression
1 simp3 960 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
2 xrleloe 10739 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
323adant3 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
4 df-pr 3823 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54uneq2i 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
6 unass 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
75, 6eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )
8 uncom 3493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )
9 snunioo 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )  =  ( A [,) B ) )
108, 9syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
1110uneq1d 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
127, 11syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
13123expa 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
14133adantl3 1116 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
15 snunico 11026 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1615adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1714, 16eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
1817ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
19 iccid 10963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
20193ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
2120eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  { A }  =  ( A [,] A ) )
22 uncom 3493 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  ( { A }  u.  (/) )
23 un0 3654 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
2422, 23eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  { A }
25 iooid 10946 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) A )  =  (/)
26 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) A )  =  ( A (,) B
) )
2725, 26syl5eqr 2484 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  ( A (,) B ) )
28 dfsn2 3830 . . . . . . . . 9  |-  { A }  =  { A ,  A }
29 preq2 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
3028, 29syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
3127, 30uneq12d 3504 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( (/) 
u.  { A }
)  =  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
3224, 31syl5eqr 2484 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )
33 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A [,] A )  =  ( A [,] B
) )
3432, 33eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { A }  =  ( A [,] A )  <-> 
( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) ) )
3521, 34syl5ibcom 213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =  B  ->  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
3618, 35jaod 371 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) ) )
373, 36sylbid 208 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
381, 37mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   (,)cioo 10918   [,)cico 10920   [,]cicc 10921
This theorem is referenced by:  iccntr  18854  ovolioo  19464  uniiccdif  19472  itgioo  19709  rollelem  19875  dvivthlem1  19894  reasinsin  20738  scvxcvx  20826  eliccioo  24179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925
  Copyright terms: Public domain W3C validator