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Theorem ps-2 29667
Description: Lattice analog for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ps1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ps1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
ps1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
ps-2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  S  =/=  T )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
Distinct variable groups:    u, A    u, 
.\/    u, K    u,  .<_    u, P    u, Q    u, R    u, S    u, T

Proof of Theorem ps-2
StepHypRef Expression
1 simpl21 1033 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  P  e.  A )
2 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp21 988 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  e.  A )
4 simp23 990 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  R  e.  A )
5 ps1.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 ps1.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 ps1.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
85, 6, 7hlatlej1 29564 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  R ) )
92, 3, 4, 8syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  R ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  P  .<_  ( P  .\/  R ) )
11 simp3r 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  T  e.  A )
125, 6, 7hlatlej1 29564 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  T ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  T ) )
14 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  P  ->  ( S  .\/  T )  =  ( P  .\/  T
) )
1514breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( S  =  P  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  <->  P  .<_  ( P 
.\/  T ) ) )
1613, 15syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( S  =  P  ->  P  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )
1716imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  P  .<_  ( S  .\/  T ) )
18 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( u  =  P  ->  (
u  .<_  ( P  .\/  R )  <->  P  .<_  ( P 
.\/  R ) ) )
19 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( u  =  P  ->  (
u  .<_  ( S  .\/  T )  <->  P  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )
2018, 19anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( u  =  P  ->  (
( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) )  <->  ( P  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
2120rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
221, 10, 17, 21syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
2322a1d 22 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  ( ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
24 hlop 29552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
25243ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  OP )
26 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
27 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
2826, 27op0cl 29374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 0. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
2925, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
3026, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
313, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3327, 32, 7atcvr0 29478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  ( 0. `  K
) (  <o  `  K
) P )
342, 3, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) P )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3626, 35, 32cvrlt 29460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( 0. `  K
)  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P )  ->  ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) P )
372, 29, 31, 34, 36syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
) ( lt `  K ) P )
38 hlpos 29555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
39383ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  Poset )
40 hllat 29553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
41403ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  Lat )
4226, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
434, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
4426, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
4541, 31, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( P  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
4626, 5, 35pltletr 14105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( 0. `  K
)  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) P  /\  P  .<_  ( P 
.\/  R ) )  ->  ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) ( P  .\/  R ) ) )
4739, 29, 31, 45, 46syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( ( 0.
`  K ) ( lt `  K ) P  /\  P  .<_  ( P  .\/  R ) )  ->  ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) ( P  .\/  R ) ) )
4837, 9, 47mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
) ( lt `  K ) ( P 
.\/  R ) )
4935pltne 14096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( 0. `  K )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( 0. `  K ) ( lt `  K ) ( P  .\/  R
)  ->  ( 0. `  K )  =/=  ( P  .\/  R ) ) )
502, 29, 45, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) ( P  .\/  R )  ->  ( 0. `  K )  =/=  ( P  .\/  R ) ) )
5148, 50mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
)  =/=  ( P 
.\/  R ) )
5251necomd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( P  .\/  R
)  =/=  ( 0.
`  K ) )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  =/=  ( 0.
`  K ) )
54 hlatl 29550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
55543ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  AtLat )
56 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  S  e.  A )
575, 7atncmp 29502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  S  .<_  P  <->  S  =/=  P ) )
5855, 56, 3, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  S  .<_  P  <-> 
S  =/=  P ) )
59 simp22 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  Q  e.  A )
6026, 5, 6, 7hlexch1 29571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  S  .<_  P )  ->  ( S  .<_  ( P  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) ) )
61603expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  P  ->  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
622, 56, 59, 31, 61syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  S  .<_  P  ->  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  Q  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )
6358, 62sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( S  =/=  P  ->  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
6463imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) )
6526, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6659, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
6726, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
6856, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
6926, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
7041, 31, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
7126, 5, 6latjlej1 14171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
7241, 66, 70, 43, 71syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( Q  .<_  ( P 
.\/  S )  -> 
( Q  .\/  R
)  .<_  ( ( P 
.\/  S )  .\/  R ) ) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  S
)  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
7464, 73mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) )
7574adantrrr 705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R ) )
7626, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  A  ->  T  e.  ( Base `  K
) )
7711, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  T  e.  ( Base `  K ) )
7826, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
7941, 66, 43, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
8026, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) )
8141, 70, 43, 80syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( P  .\/  S )  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
8226, 5lattr 14162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( T 
.<_  ( Q  .\/  R
)  /\  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
8341, 77, 79, 81, 82syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( T  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R ) ) )
8483expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .<_  ( ( P 
.\/  S )  .\/  R )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S
)  .\/  R )
) )
8584adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  -> 
( ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S
)  .\/  R )
) )
8685adantrl 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
8775, 86mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) )
886, 7hlatj32 29561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) )
892, 3, 56, 4, 88syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( P  .\/  S )  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) )
9089breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R )  <->  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
) )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( T  .<_  ( ( P  .\/  S
)  .\/  R )  <->  T 
.<_  ( ( P  .\/  R )  .\/  S ) ) )
9287, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  R ) 
.\/  S ) )
9353, 92jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  R )  =/=  ( 0. `  K
)  /\  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
) )
9493adantrrl 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  R )  =/=  ( 0.
`  K )  /\  T  .<_  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) ) )
9594ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( S  =/= 
P  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  R )  =/=  ( 0.
`  K )  /\  T  .<_  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) ) ) )
9626, 5, 6, 27, 7cvrat4 29632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K )  /\  T  e.  A  /\  S  e.  A ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  R )  =/=  ( 0. `  K
)  /\  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
)  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) ) )
972, 45, 11, 56, 96syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  R )  =/=  ( 0. `  K
)  /\  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
)  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) ) )
9895, 97syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( S  =/= 
P  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) ) )
9998impl 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) )
10099adantrlr 703 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) )
1015, 7atncmp 29502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  T  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( -.  T  .<_  S  <->  T  =/=  S ) )
10255, 11, 56, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  T  .<_  S  <-> 
T  =/=  S ) )
103 necom 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  =/=  S  <->  S  =/=  T )
104102, 103syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  T  .<_  S  <-> 
S  =/=  T ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  ( -.  T  .<_  S  <-> 
S  =/=  T ) )
106 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  K  e.  HL )
107 simpl3r 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  T  e.  A )
108 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
10968adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
11026, 5, 6, 7hlexch1 29571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  u  e.  A  /\  S  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  T  .<_  S )  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u
)  ->  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
1111103expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  u  e.  A  /\  S  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( -.  T  .<_  S  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T
) ) ) )
112106, 107, 108, 109, 111syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  ( -.  T  .<_  S  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )
113105, 112sylbird 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  ( S  =/=  T  ->  ( T  .<_  ( S 
.\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
114113imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  u  e.  A )  /\  S  =/=  T )  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T
) ) )
115114an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  T )  /\  u  e.  A )  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T
) ) )
116115anim2d 548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  T )  /\  u  e.  A )  ->  (
( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) )  -> 
( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
117116reximdva 2655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =/=  T )  -> 
( E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R )  /\  T  .<_  ( S 
.\/  u ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
118117ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T ) )  -> 
( E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R )  /\  T  .<_  ( S 
.\/  u ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
119118adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
120100, 119mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
121120ex 423 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =/=  P )  -> 
( ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
12223, 121pm2.61dane 2524 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
123122imp 418 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  S  =/=  T )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   ltcplt 14075   joincjn 14078   0.cp0 14143   Latclat 14151   OPcops 29362    <o ccvr 29452   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  ps-2b  29671  paddasslem3  30011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
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