Theorem psdmrn 8648

Description: The domain and range of a poset equal its field.

Assertion

Ref	Expression
psdmrn	|- (R e. Poset -> (dom R = U.U.R /\ ran R = U.U.R))

Proof of Theorem psdmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 2193	. . . . 5 |- dom R (_ (dom R u. ran R)
2		dmrnssfld 3357	. . . . 5 |- (dom R u. ran R) (_ U.U.R
3	1, 2	sstri 2073	. . . 4 |- dom R (_ U.U.R
4	3	a1i 8	. . 3 |- (R e. Poset -> dom R (_ U.U.R)
5		pslem 8647	. . . . . . . . . 10 |- (R e. Poset -> ((x e. U.U.R /\ x e. U.U.R /\ x e. U.U.R) -> (((xRx /\ xRx) -> xRx) /\ ((x e. U.U.R -> xRx) /\ ((xRx /\ xRx) -> x = x)))))
6		simprl 414	. . . . . . . . . 10 |- ((((xRx /\ xRx) -> xRx) /\ ((x e. U.U.R -> xRx) /\ ((xRx /\ xRx) -> x = x))) -> (x e. U.U.R -> xRx))
7	5, 6	syl6 22	. . . . . . . . 9 |- (R e. Poset -> ((x e. U.U.R /\ x e. U.U.R /\ x e. U.U.R) -> (x e. U.U.R -> xRx)))
8	7	3expd 850	. . . . . . . 8 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> xRx)))))
9	8	pm2.43d 65	. . . . . . 7 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> xRx))))
10	9	pm2.43d 65	. . . . . 6 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> xRx)))
11	10	pm2.43d 65	. . . . 5 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> xRx))
12		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
13	12	breldm 3315	. . . . 5 |- (xRx -> x e. dom R)
14	11, 13	syl6 22	. . . 4 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> x e. dom R))
15	14	ssrdv 2070	. . 3 |- (R e. Poset -> U.U.R (_ dom R)
16	4, 15	eqssd 2079	. 2 |- (R e. Poset -> dom R = U.U.R)
17		ssun2 2194	. . . . 5 |- ran R (_ (dom R u. ran R)
18	17, 2	sstri 2073	. . . 4 |- ran R (_ U.U.R
19	18	a1i 8	. . 3 |- (R e. Poset -> ran R (_ U.U.R)
20	12, 12	brelrn 3344	. . . . 5 |- (xRx -> x e. ran R)
21	11, 20	syl6 22	. . . 4 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> x e. ran R))
22	21	ssrdv 2070	. . 3 |- (R e. Poset -> U.U.R (_ ran R)
23	19, 22	eqssd 2079	. 2 |- (R e. Poset -> ran R = U.U.R)
24	16, 23	jca 288	1 |- (R e. Poset -> (dom R = U.U.R /\ ran R = U.U.R))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2045   (_ wss 2047  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ran crn 3171  Posetcps 8633

This theorem is referenced by:  psref 8649  psrn 8650  spwval 8659  spwnex 8661

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ps 8639

Copyright terms: Public domain