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Theorem psercn 20344
Description: An infinite series converges to a continuous function on the open disk of radius  R, where  R is the radius of convergence of the series. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
psercn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    j, a, n, r, x, y, A   
j, M, y    j, G, r, y    S, a, j, y    F, a    ph, a, j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    R( x, y, j, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem psercn
Dummy variables  k 
s  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumex 12483 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
21rgenw 2775 . . . . 5  |-  A. y  e.  S  sum_ j  e. 
NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
3 pserf.f . . . . . 6  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
43fnmpt 5573 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  S  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `
 j )  e. 
_V  ->  F  Fn  S
)
52, 4mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
6 psercn.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
7 cnvimass 5226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
8 absf 12143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  abs : CC
--> RR
98fdmi 5598 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  abs  =  CC
107, 9sseqtri 3382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
116, 10eqsstri 3380 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1312sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  CC )
14 0cn 9086 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
15 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1615cnmetdval 18807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
1714, 13, 16sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
18 abssub 12132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  a ) )  =  ( abs `  ( a  -  0 ) ) )
1914, 13, 18sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  (
a  -  0 ) ) )
2013subid1d 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  -  0 )  =  a )
2120fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( a  - 
0 ) )  =  ( abs `  a
) )
2217, 19, 213eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  a
) )
23 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
24 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  a
)  +  1 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
25 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
2625, 6syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( `' abs " (
0 [,) R ) ) )
27 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
28 elpreima 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) ) )
298, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3026, 29sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3130simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R
) )
32 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
33 iccssxr 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
34 pserf.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
35 pserf.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
36 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
3734, 35, 36radcnvcl 20335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3837adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3933, 38sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  RR* )
40 elico2 10976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  R  e.  RR* )  -> 
( ( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4132, 39, 40sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4231, 41mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) )
4342simp3d 972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4513abscld 12240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
46 avglt1 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  a
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4745, 46sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4844, 47mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) )
4945ltp1d 9943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5049adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  -.  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a
)  <  ( ( abs `  a )  +  1 ) )
5123, 24, 48, 50ifbothda 3771 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) ) )
52 psercn.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5351, 52syl6breqr 4254 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
M )
5422, 53eqbrtrd 4234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  <  M )
55 cnxmet 18809 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
5655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
5714a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  0  e.  CC )
5834, 3, 35, 36, 6, 52psercnlem1 20343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( M  e.  RR+  /\  ( abs `  a )  < 
M  /\  M  <  R ) )
5958simp1d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR+ )
6059rpxrd 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR* )
61 elbl 18420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6313, 54, 62mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
64 fvres 5747 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  ->  ( ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) `  a
)  =  ( F `
 a ) )
6563, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  =  ( F `  a ) )
663reseq1i 5144 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( ( y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  (
( G `  y
) `  j )
)  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
6734, 3, 35, 36, 6, 58psercnlem2 20342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  /\  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  C_  S
) )
6867simp2d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
6967simp3d 972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  S )
7068, 69sstrd 3360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S
)
71 resmpt 5193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S  ->  ( ( y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
7366, 72syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
74 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )
7535adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
76 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  ( G `  k )  =  ( G `  y ) )
7776seqeq3d 11333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  y  ->  seq  0 (  +  , 
( G `  k
) )  =  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) )
7877fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
)  =  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )
7978cbvmptv 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) )  =  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  s ) )
80 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  i  ->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
)  =  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )
8180mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  i  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8279, 81syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  i  ->  (
k  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8382cbvmptv 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN0  |->  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
8459rpred 10650 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR )
8558simp3d 972 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  <  R )
8634, 74, 75, 36, 83, 84, 85, 68psercn2 20341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC ) )
8773, 86eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC ) )
88 cncff 18925 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
9089, 63ffvelrnd 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  e.  CC )
9165, 90eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F `  a )  e.  CC )
9291ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC )
93 ffnfv 5896 . . . 4  |-  ( F : S --> CC  <->  ( F  Fn  S  /\  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC ) )
945, 92, 93sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
9570, 11syl6ss 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  CC )
96 ssid 3369 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
97 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
98 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
9997cnfldtop 18820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
10097cnfldtopon 18819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
101100toponunii 16999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
102101restid 13663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
10399, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
104103eqcomi 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
10597, 98, 104cncfcn 18941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
10695, 96, 105sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
10787, 106eleqtrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
108101restuni 17228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC )  -> 
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
10999, 95, 108sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
11063, 109eleqtrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
111 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
112111cncnpi 17344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )  ->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
113107, 110, 112syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  a
) )
11499a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( TopOpen
` fld
)  e.  Top )
115 cnex 9073 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
116115, 11ssexi 4350 . . . . . . . . . 10  |-  S  e. 
_V
117116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  _V )
118 restabs 17231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
119114, 70, 117, 118syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
120119oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) )
121120fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
122113, 121eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
123 resttop 17226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
12499, 116, 123mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top
125124a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
126 df-ss 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S  <->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12770, 126sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12897cnfldtopn 18818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
129128blopn 18532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
13056, 57, 60, 129syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
131 elrestr 13658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
132114, 117, 130, 131syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
133127, 132eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
134 isopn3i 17148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
135124, 133, 134sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
13663, 135eleqtrrd 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
13794adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F : S --> CC )
138101restuni 17228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
13999, 11, 138mp2an 655 . . . . . . 7  |-  S  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
)
140139, 101cnprest 17355 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S )  /\  ( a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  /\  F : S
--> CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
141125, 70, 136, 137, 140syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )
) )
142122, 141mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
143142ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
144 resttopon 17227 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
145100, 11, 144mp2an 655 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )
146 cncnp 17346 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  ( F  e.  ( (
( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) ) )
147145, 100, 146mp2an 655 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
14894, 143, 147sylanbrc 647 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
149 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
15097, 149, 104cncfcn 18941 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( S -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
15111, 96, 150mp2an 655 . 2  |-  ( S
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
152148, 151syl6eleqr 2529 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ifcif 3741   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   dom cdm 4880    |` cres 4882   "cima 4883    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   2c2 10051   NN0cn0 10223   RR+crp 10614   [,)cico 10920   [,]cicc 10921    seq cseq 11325   ^cexp 11384   abscabs 12041    ~~> cli 12280   sum_csu 12481   ↾t crest 13650   TopOpenctopn 13651   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690  ℂfldccnfld 16705   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   intcnt 17083    Cn ccn 17290    CnP ccnp 17291   -cn->ccncf 18908
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20346  pserdv  20347  abelth  20359  logtayl  20553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-ntr 17086  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-ulm 20295
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