Theorem pssinf 4674

Description: A set equinumerous to a proper subset of itself is infinite. Corollary 6D(a) of [Enderton] p. 136.

Assertion

Ref	Expression
pssinf	|- ((A (. B /\ A ~~ B) -> -. B e. Fin)

Proof of Theorem pssinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php3 4662	. . . . 5 |- ((B e. Fin /\ A (. B) -> A ~< B)
2	1	ex 371	. . . 4 |- (B e. Fin -> (A (. B -> A ~< B))
3		sdomnen 4528	. . . 4 |- (A ~< B -> -. A ~~ B)
4	2, 3	syl6com 53	. . 3 |- (A (. B -> (B e. Fin -> -. A ~~ B))
5	4	con2d 91	. 2 |- (A (. B -> (A ~~ B -> -. B e. Fin))
6	5	imp 348	1 |- ((A (. B /\ A ~~ B) -> -. B e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994   (. wpss 2100   class class class wbr 2692   ~~ cen 4505   ~< csdm 4507  Fincfn 4508

This theorem is referenced by:  ominf 4675  sfseqeq 10824

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512

Copyright terms: Public domain