MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pssinf Unicode version

Theorem pssinf 7075
Description: A set equinumerous to a proper subset of itself is infinite. Corollary 6D(a) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
pssinf  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )

Proof of Theorem pssinf
StepHypRef Expression
1 php3 7049 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C.  B )  ->  A  ~<  B )
21ex 423 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A  C.  B  ->  A  ~<  B ) )
3 sdomnen 6892 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  A  ~~  B )
42, 3syl6com 31 . . 3  |-  ( A 
C.  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  -.  A  ~~  B ) )
54con2d 107 . 2  |-  ( A 
C.  B  ->  ( A  ~~  B  ->  -.  B  e.  Fin )
)
65imp 418 1  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686    C. wpss 3155   class class class wbr 4025    ~~ cen 6862    ~< csdm 6864   Fincfn 6865
This theorem is referenced by:  fisseneq  7076  ominf  7077  isprm2lem  12767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869
  Copyright terms: Public domain W3C validator