Theorem pssnn 4681

Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137.

Assertion

Ref	Expression
pssnn	|- ((A e. om /\ B (. A) -> E.x e. A B ~~ x)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem pssnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 2795	. . . 4 |- ((B (_ A /\ A e. om) -> B e. V)
2		pssss 2195	. . . 4 |- (B (. A -> B (_ A)
3	1, 2	sylan 450	. . 3 |- ((B (. A /\ A e. om) -> B e. V)
4	3	ancoms 438	. 2 |- ((A e. om /\ B (. A) -> B e. V)
5		psseq1 2187	. . . . . . 7 |- (w = B -> (w (. A <-> B (. A))
6		breq1 2695	. . . . . . . 8 |- (w = B -> (w ~~ x <-> B ~~ x))
7	6	rexbidv 1710	. . . . . . 7 |- (w = B -> (E.x e. A w ~~ x <-> E.x e. A B ~~ x))
8	5, 7	imbi12d 629	. . . . . 6 |- (w = B -> ((w (. A -> E.x e. A w ~~ x) <-> (B (. A -> E.x e. A B ~~ x)))
9	8	cla4gv 1908	. . . . 5 |- (B e. V -> (A.w(w (. A -> E.x e. A w ~~ x) -> (B (. A -> E.x e. A B ~~ x)))
10		psseq2 2188	. . . . . . . 8 |- (z = (/) -> (w (. z <-> w (. (/)))
11		rexeq1 1833	. . . . . . . 8 |- (z = (/) -> (E.x e. z w ~~ x <-> E.x e. (/) w ~~ x))
12	10, 11	imbi12d 629	. . . . . . 7 |- (z = (/) -> ((w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> (w (. (/) -> E.x e. (/) w ~~ x)))
13	12	albidv 1316	. . . . . 6 |- (z = (/) -> (A.w(w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> A.w(w (. (/) -> E.x e. (/) w ~~ x)))
14		psseq2 2188	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (w (. z <-> w (. y))
15		rexeq1 1833	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (E.x e. z w ~~ x <-> E.x e. y w ~~ x))
16	14, 15	imbi12d 629	. . . . . . 7 |- (z = y -> ((w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> (w (. y -> E.x e. y w ~~ x)))
17	16	albidv 1316	. . . . . 6 |- (z = y -> (A.w(w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)))
18		psseq2 2188	. . . . . . . 8 |- (z = suc y -> (w (. z <-> w (. suc y))
19		rexeq1 1833	. . . . . . . 8 |- (z = suc y -> (E.x e. z w ~~ x <-> E.x e. suc yw ~~ x))
20	18, 19	imbi12d 629	. . . . . . 7 |- (z = suc y -> ((w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x)))
21	20	albidv 1316	. . . . . 6 |- (z = suc y -> (A.w(w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> A.w(w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x)))
22		psseq2 2188	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (w (. z <-> w (. A))
23		rexeq1 1833	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (E.x e. z w ~~ x <-> E.x e. A w ~~ x))
24	22, 23	imbi12d 629	. . . . . . 7 |- (z = A -> ((w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> (w (. A -> E.x e. A w ~~ x)))
25	24	albidv 1316	. . . . . 6 |- (z = A -> (A.w(w (. z -> E.x e. z w ~~ x) <-> A.w(w (. A -> E.x e. A w ~~ x)))
26		npss0 2362	. . . . . . . 8 |- -. w (. (/)
27	26	pm2.21i 77	. . . . . . 7 |- (w (. (/) -> E.x e. (/) w ~~ x)
28	27	ax-gen 999	. . . . . 6 |- A.w(w (. (/) -> E.x e. (/) w ~~ x)
29		ax-17 1007	. . . . . . 7 |- (y e. om -> A.w y e. om)
30		hba1 1039	. . . . . . 7 |- (A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> A.wA.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x))
31		elequ1 1173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z = y -> (z e. w <-> y e. w))
32	31	biimpcd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z e. w -> (z = y -> y e. w))
33	32	con3d 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z e. w -> (-. y e. w -> -. z = y))
34	33	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((w (. suc y /\ z e. w) -> (-. y e. w -> -. z = y))
35		pssss 2195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (w (. suc y -> w (_ suc y)
36	35	sseld 2119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (w (. suc y -> (z e. w -> z e. suc y))
37		elsuci 3039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (z e. suc y -> (z e. y \/ z = y))
38	37	ord 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z e. suc y -> (-. z e. y -> z = y))
39	38	con1d 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z e. suc y -> (-. z = y -> z e. y))
40	36, 39	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (w (. suc y -> (z e. w -> (-. z = y -> z e. y)))
41	40	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((w (. suc y /\ z e. w) -> (-. z = y -> z e. y))
42	34, 41	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((w (. suc y /\ z e. w) -> (-. y e. w -> z e. y))
43	42	ex 371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w (. suc y -> (z e. w -> (-. y e. w -> z e. y)))
44	43	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w (. suc y -> (-. y e. w -> (z e. w -> z e. y)))
45	44	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w (. suc y /\ -. y e. w) -> (z e. w -> z e. y))
46	45	ssrdv 2122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w (. suc y /\ -. y e. w) -> w (_ y)
47	46	anim1i 332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((w (. suc y /\ -. y e. w) /\ -. w = y) -> (w (_ y /\ -. w = y))
48		dfpss2 2185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w (. y <-> (w (_ y /\ -. w = y))
49	47, 48	sylibr 198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w (. suc y /\ -. y e. w) /\ -. w = y) -> w (. y)
50		elelsuc 3045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. y -> x e. suc y)
51	50	anim1i 332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. y /\ w ~~ x) -> (x e. suc y /\ w ~~ x))
52	51	r19.22i2 1779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.x e. y w ~~ x -> E.x e. suc yw ~~ x)
53	49, 52	imim12i 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> (((w (. suc y /\ -. y e. w) /\ -. w = y) -> E.x e. suc yw ~~ x))
54	53	exp4c 380	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> (w (. suc y -> (-. y e. w -> (-. w = y -> E.x e. suc yw ~~ x))))
55	54	a4s 1020	. . . . . . . . . . 11 |- (A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> (w (. suc y -> (-. y e. w -> (-. w = y -> E.x e. suc yw ~~ x))))
56	55	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. om /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (w (. suc y -> (-. y e. w -> (-. w = y -> E.x e. suc yw ~~ x))))
57	56	com4t 40	. . . . . . . . 9 |- (-. y e. w -> (-. w = y -> ((y e. om /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x))))
58		nnord 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. om -> Ord y)
59		orddif 3065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Ord y -> y = (suc y \ {y}))
60	58, 59	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. om -> y = (suc y \ {y}))
61	60	sseq2d 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. om -> ((w \ {y}) (_ y <-> (w \ {y}) (_ (suc y \ {y})))
62		ssdif 2224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w (_ suc y -> (w \ {y}) (_ (suc y \ {y}))
63	61, 62	syl5bir 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. om -> (w (_ suc y -> (w \ {y}) (_ y))
64	63, 35	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. om -> (w (. suc y -> (w \ {y}) (_ y))
65		eleq2 1578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((w \ {y}) = y -> (z e. (w \ {y}) <-> z e. y))
66		eldifi 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z e. (w \ {y}) -> z e. w)
67	65, 66	syl6bir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((w \ {y}) = y -> (z e. y -> z e. w))
68	67	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((y e. w /\ z e. suc y) /\ (w \ {y}) = y) -> (z e. y -> z e. w))
69		eleq1a 1586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. w -> (z = y -> z e. w))
70	38, 69	sylan9r 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. w /\ z e. suc y) -> (-. z e. y -> z e. w))
71	70	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((y e. w /\ z e. suc y) /\ (w \ {y}) = y) -> (-. z e. y -> z e. w))
72	68, 71	pm2.61d 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((y e. w /\ z e. suc y) /\ (w \ {y}) = y) -> z e. w)
73	72	ex 371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. w /\ z e. suc y) -> ((w \ {y}) = y -> z e. w))
74	73	con3d 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. w /\ z e. suc y) -> (-. z e. w -> -. (w \ {y}) = y))
75	74	expimpd 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. w -> ((z e. suc y /\ -. z e. w) -> -. (w \ {y}) = y))
76	75	19.23adv 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. w -> (E.z(z e. suc y /\ -. z e. w) -> -. (w \ {y}) = y))
77		pssnel 2384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w (. suc y -> E.z(z e. suc y /\ -. z e. w))
78	76, 77	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. w -> (w (. suc y -> -. (w \ {y}) = y))
79	64, 78	im2anan9r 567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. w /\ y e. om) -> ((w (. suc y /\ w (. suc y) -> ((w \ {y}) (_ y /\ -. (w \ {y}) = y)))
80		anidm 433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w (. suc y /\ w (. suc y) <-> w (. suc y)
81	79, 80	syl5ibr 205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. w /\ y e. om) -> (w (. suc y -> ((w \ {y}) (_ y /\ -. (w \ {y}) = y)))
82		dfpss2 2185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w \ {y}) (. y <-> ((w \ {y}) (_ y /\ -. (w \ {y}) = y))
83	81, 82	syl6ibr 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. w /\ y e. om) -> (w (. suc y -> (w \ {y}) (. y))
84		psseq1 2187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = z -> (w (. y <-> z (. y))
85		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = z -> (w ~~ x <-> z ~~ x))
86	85	rexbidv 1710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = z -> (E.x e. y w ~~ x <-> E.x e. y z ~~ x))
87	84, 86	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = z -> ((w (. y -> E.x e. y w ~~ x) <-> (z (. y -> E.x e. y z ~~ x)))
88	87	cbvalv 1352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x) <-> A.z(z (. y -> E.x e. y z ~~ x))
89		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
90		difss 2219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w \ {y}) (_ w
91	89, 90	ssexi 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w \ {y}) e. V
92		psseq1 2187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = (w \ {y}) -> (z (. y <-> (w \ {y}) (. y))
93		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = (w \ {y}) -> (z ~~ x <-> (w \ {y}) ~~ x))
94	93	rexbidv 1710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = (w \ {y}) -> (E.x e. y z ~~ x <-> E.x e. y (w \ {y}) ~~ x))
95	92, 94	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (w \ {y}) -> ((z (. y -> E.x e. y z ~~ x) <-> ((w \ {y}) (. y -> E.x e. y (w \ {y}) ~~ x)))
96	91, 95	cla4v 1914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.z(z (. y -> E.x e. y z ~~ x) -> ((w \ {y}) (. y -> E.x e. y (w \ {y}) ~~ x))
97	88, 96	sylbi 197	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> ((w \ {y}) (. y -> E.x e. y (w \ {y}) ~~ x))
98	83, 97	sylan9 470	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. w /\ y e. om) /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (w (. suc y -> E.x e. y (w \ {y}) ~~ x))
99		ordsucelsuc 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Ord y -> (x e. y <-> suc x e. suc y))
100	99	biimpd 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Ord y -> (x e. y -> suc x e. suc y))
101	58, 100	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. om -> (x e. y -> suc x e. suc y))
102	101	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. w /\ y e. om) -> (x e. y -> suc x e. suc y))
103	102	adantrd 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. w /\ y e. om) -> ((x e. y /\ (w \ {y}) ~~ x) -> suc x e. suc y))
104		difsnid 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. w -> ((w \ {y}) u. {y}) = w)
105	104	eqcomd 1523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. w -> w = ((w \ {y}) u. {y}))
106		df-suc 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- suc x = (x u. {x})
107	106	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. w -> suc x = (x u. {x}))
108	105, 107	breq12d 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. w -> (w ~~ suc x <-> ((w \ {y}) u. {y}) ~~ (x u. {x})))
109		unen 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((w \ {y}) ~~ x /\ {y} ~~ {x}) /\ (((w \ {y}) i^i {y}) = (/) /\ (x i^i {x}) = (/))) -> ((w \ {y}) u. {y}) ~~ (x u. {x}))
110		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- y e. V
111		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- x e. V
112	110, 111	f1osn 3830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- {<.y, x>.}:{y}-1-1-onto->{x}
113		snex 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- {y} e. V
114	113	f1oen 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ({<.y, x>.}:{y}-1-1-onto->{x} -> {y} ~~ {x})
115	112, 114	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- {y} ~~ {x}
116	115	jctr 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((w \ {y}) ~~ x -> ((w \ {y}) ~~ x /\ {y} ~~ {x}))
117		nnord 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x e. om -> Ord x)
118		orddisj 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (Ord x -> (x i^i {x}) = (/))
119	117, 118	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. om -> (x i^i {x}) = (/))
120		incom 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ({y} i^i (w \ {y})) = ((w \ {y}) i^i {y})
121		difdisj 2390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ({y} i^i (w \ {y})) = (/)
122	120, 121	eqtr3i 1540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((w \ {y}) i^i {y}) = (/)
123	119, 122	jctil 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x e. om -> (((w \ {y}) i^i {y}) = (/) /\ (x i^i {x}) = (/)))
124	109, 116, 123	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((w \ {y}) ~~ x /\ x e. om) -> ((w \ {y}) u. {y}) ~~ (x u. {x}))
125	108, 124	syl5bir 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. w -> (((w \ {y}) ~~ x /\ x e. om) -> w ~~ suc x))
126		elnn 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. y /\ y e. om) -> x e. om)
127	125, 126	sylan2i 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. w -> (((w \ {y}) ~~ x /\ (x e. y /\ y e. om)) -> w ~~ suc x))
128	127	exp4d 381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. w -> ((w \ {y}) ~~ x -> (x e. y -> (y e. om -> w ~~ suc x))))
129	128	com24 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. w -> (y e. om -> (x e. y -> ((w \ {y}) ~~ x -> w ~~ suc x))))
130	129	imp4b 363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. w /\ y e. om) -> ((x e. y /\ (w \ {y}) ~~ x) -> w ~~ suc x))
131	103, 130	jcad 603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. w /\ y e. om) -> ((x e. y /\ (w \ {y}) ~~ x) -> (suc x e. suc y /\ w ~~ suc x)))
132		breq2 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = suc x -> (w ~~ z <-> w ~~ suc x))
133	132	rcla4ev 1923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((suc x e. suc y /\ w ~~ suc x) -> E.z e. suc yw ~~ z)
134	131, 133	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. w /\ y e. om) -> ((x e. y /\ (w \ {y}) ~~ x) -> E.z e. suc yw ~~ z))
135	134	19.23adv 1251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. w /\ y e. om) -> (E.x(x e. y /\ (w \ {y}) ~~ x) -> E.z e. suc yw ~~ z))
136		df-rex 1696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.x e. y (w \ {y}) ~~ x <-> E.x(x e. y /\ (w \ {y}) ~~ x))
137		breq2 2696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z -> (w ~~ x <-> w ~~ z))
138	137	cbvrexv 1847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.x e. suc yw ~~ x <-> E.z e. suc yw ~~ z)
139	135, 136, 138	3imtr4g 556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. w /\ y e. om) -> (E.x e. y (w \ {y}) ~~ x -> E.x e. suc yw ~~ x))
140	139	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. w /\ y e. om) /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (E.x e. y (w \ {y}) ~~ x -> E.x e. suc yw ~~ x))
141	98, 140	syld 27	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. w /\ y e. om) /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x))
142	141	exp31 376	. . . . . . . . . 10 |- (y e. w -> (y e. om -> (A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x))))
143	142	imp3a 359	. . . . . . . . 9 |- (y e. w -> ((y e. om /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x)))
144	89	eqelsuc 3054	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> w e. suc y)
145	89	enref 4532	. . . . . . . . . . . . 13 |- w ~~ w
146	144, 145	jctir 291	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> (w e. suc y /\ w ~~ w))
147		breq2 2696	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = w -> (w ~~ x <-> w ~~ w))
148	147	rcla4ev 1923	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. suc y /\ w ~~ w) -> E.x e. suc yw ~~ x)
149	146, 148	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> E.x e. suc yw ~~ x)
150	149	a1d 12	. . . . . . . . . 10 |- (w = y -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x))
151	150	a1d 12	. . . . . . . . 9 |- (w = y -> ((y e. om /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x)))
152	57, 143, 151	pm2.61ii 128	. . . . . . . 8 |- ((y e. om /\ A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x)) -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x))
153	152	ex 371	. . . . . . 7 |- (y e. om -> (A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> (w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x)))
154	29, 30, 153	19.21ad 1095	. . . . . 6 |- (y e. om -> (A.w(w (. y -> E.x e. y w ~~ x) -> A.w(w (. suc y -> E.x e. suc yw ~~ x)))
155	13, 17, 21, 25, 28, 154	finds 3244	. . . . 5 |- (A e. om -> A.w(w (. A -> E.x e. A w ~~ x))
156	9, 155	syl5 21	. . . 4 |- (B e. V -> (A e. om -> (B (. A -> E.x e. A B ~~ x)))
157	156	com3l 34	. . 3 |- (A e. om -> (B (. A -> (B e. V -> E.x e. A B ~~ x)))
158	157	imp 348	. 2 |- ((A e. om /\ B (. A) -> (B e. V -> E.x e. A B ~~ x))
159	4, 158	mpd 26	1 |- ((A e. om /\ B (. A) -> E.x e. A B ~~ x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  E.wrex 1692  Vcvv 1857   \ cdif 2096   u. cun 2097   i^i cin 2098   (_ wss 2099   (. wpss 2100  (/)c0 2332  {csn 2467  <.cop 2469   class class class wbr 2692  Ord word 2974  suc csuc 2977  omcom 3218  -1-1-onto->wf1o 3262   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  ssnnfi 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-en 4509

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