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Theorem pssnn 7077
Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pssnn  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem pssnn
StepHypRef Expression
1 pssss 3273 . . . 4  |-  ( B 
C.  A  ->  B  C_  A )
2 ssexg 4162 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  om )  ->  B  e.  _V )
31, 2sylan 459 . . 3  |-  ( ( B  C.  A  /\  A  e.  om )  ->  B  e.  _V )
43ancoms 441 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  e.  _V )
5 psseq2 3266 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( w 
C.  z  <->  w  C.  (/) ) )
6 rexeq 2739 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. x  e.  z  w 
~~  x  <->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
) )
75, 6imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  ( w  C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
) ) )
87albidv 1612 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  (/) 
->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x ) ) )
9 psseq2 3266 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
w  C.  z  <->  w  C.  y ) )
10 rexeq 2739 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )
119, 10imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) ) )
1211albidv 1612 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) ) )
13 psseq2 3266 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( w  C.  z  <->  w 
C.  suc  y )
)
14 rexeq 2739 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  suc  y
w  ~~  x )
)
1513, 14imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
1615albidv 1612 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
17 psseq2 3266 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
w  C.  z  <->  w  C.  A ) )
18 rexeq 2739 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) )
1917, 18imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) ) )
2019albidv 1612 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) ) )
21 npss0 3495 . . . . . . . 8  |-  -.  w  C.  (/)
2221pm2.21i 125 . . . . . . 7  |-  ( w 
C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
)
2322ax-gen 1534 . . . . . 6  |-  A. w
( w  C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
)
24 nfv 1606 . . . . . . 7  |-  F/ w  y  e.  om
25 nfa1 1758 . . . . . . 7  |-  F/ w A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )
26 elequ1 1688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  y  e.  w ) )
2726biimpcd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  w  ->  (
z  =  y  -> 
y  e.  w ) )
2827con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  w  ->  ( -.  y  e.  w  ->  -.  z  =  y ) )
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w
)  ->  ( -.  y  e.  w  ->  -.  z  =  y ) )
30 pssss 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  w 
C_  suc  y )
3130sseld 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  ( z  e.  w  -> 
z  e.  suc  y
) )
32 elsuci 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( z  e.  y  \/  z  =  y ) )
3332ord 368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( -.  z  e.  y  ->  z  =  y ) )
3433con1d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) )
3531, 34syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  ( z  e.  w  -> 
( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) ) )
3635imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w
)  ->  ( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) )
3729, 36syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w
)  ->  ( -.  y  e.  w  ->  z  e.  y ) )
3837impancom 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  ->  ( z  e.  w  ->  z  e.  y ) )
3938ssrdv 3187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  ->  w  C_  y
)
4039anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w )  /\  -.  w  =  y )  ->  ( w  C_  y  /\  -.  w  =  y ) )
41 dfpss2 3263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C.  y  <->  ( w  C_  y  /\  -.  w  =  y ) )
4240, 41sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w )  /\  -.  w  =  y )  ->  w  C.  y )
43 elelsuc 4464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  suc  y )
4443anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  w  ~~  x )  -> 
( x  e.  suc  y  /\  w  ~~  x
) )
4544reximi2 2651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  y  w 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
4642, 45imim12i 55 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  -> 
( ( ( w 
C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  /\  -.  w  =  y )  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
4746exp4c 593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  ->  ( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
4847sps 1741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  -> 
( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
4948adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  ->  ( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
5049com4t 81 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  w  -> 
( -.  w  =  y  ->  ( (
y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
51 anidm 627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  w  C.  suc  y
)  <->  w  C.  suc  y
)
52 ssdif 3313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w 
C_  suc  y  ->  ( w  \  { y } )  C_  ( suc  y  \  { y } ) )
53 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
54 orddif 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  y  =  ( suc  y  \  {
y } ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  om  ->  y  =  ( suc  y  \  { y } ) )
5655sseq2d 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  om  ->  (
( w  \  {
y } )  C_  y 
<->  ( w  \  {
y } )  C_  ( suc  y  \  {
y } ) ) )
5752, 56syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  om  ->  (
w  C_  suc  y  -> 
( w  \  {
y } )  C_  y ) )
5830, 57syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  om  ->  (
w  C.  suc  y  -> 
( w  \  {
y } )  C_  y ) )
59 pssnel 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  E. z ( z  e. 
suc  y  /\  -.  z  e.  w )
)
60 eleq2 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  \  { y } )  =  y  ->  ( z  e.  ( w  \  {
y } )  <->  z  e.  y ) )
61 eldifi 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( w  \  { y } )  ->  z  e.  w
)
6260, 61syl6bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  \  { y } )  =  y  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
64 eleq1a 2354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  w  ->  (
z  =  y  -> 
z  e.  w ) )
6533, 64sylan9r 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( -.  z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  ( -.  z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6763, 66pm2.61d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  z  e.  w )
6867ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( ( w 
\  { y } )  =  y  -> 
z  e.  w ) )
6968con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( -.  z  e.  w  ->  -.  (
w  \  { y } )  =  y ) )
7069expimpd 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( z  e.  suc  y  /\  -.  z  e.  w )  ->  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) )
7170exlimdv 1665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  w  ->  ( E. z ( z  e. 
suc  y  /\  -.  z  e.  w )  ->  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) )
7259, 71syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  C.  suc  y  ->  -.  ( w  \  {
y } )  =  y ) )
7358, 72im2anan9r 811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( w  C.  suc  y  /\  w  C.  suc  y )  -> 
( ( w  \  { y } ) 
C_  y  /\  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) ) )
7451, 73syl5bir 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( ( w 
\  { y } )  C_  y  /\  -.  ( w  \  {
y } )  =  y ) ) )
75 dfpss2 3263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  \  { y } )  C.  y  <->  ( ( w  \  {
y } )  C_  y  /\  -.  ( w 
\  { y } )  =  y ) )
7674, 75syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( w  \  { y } ) 
C.  y ) )
77 psseq1 3265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
w  C.  y  <->  z  C.  y ) )
78 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  (
w  ~~  x  <->  z  ~~  x ) )
7978rexbidv 2566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ( E. x  e.  y  w  ~~  x  <->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) )
8077, 79imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  <-> 
( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) ) )
8180cbvalv 1948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  <->  A. z ( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) )
82 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
83 difss 3305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
\  { y } )  C_  w
8482, 83ssexi 4161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
\  { y } )  e.  _V
85 psseq1 3265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( z  C.  y 
<->  ( w  \  {
y } )  C.  y ) )
86 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( z  ~~  x 
<->  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
8786rexbidv 2566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( E. x  e.  y  z  ~~  x 
<->  E. x  e.  y  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
8885, 87imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( ( z 
C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x )  <->  ( (
w  \  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) ) )
8984, 88spcv 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z ( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x )  ->  ( ( w 
\  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y 
( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
9081, 89sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( ( w 
\  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y 
( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
9176, 90sylan9 640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x ) )
92 ordsucelsuc 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord  y  ->  ( x  e.  y  <->  suc  x  e.  suc  y ) )
9392biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
9453, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  om  ->  (
x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y
) )
9594adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
9695adantrd 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
97 elnn 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
98 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { <. y ,  x >. }  e.  _V
99 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  y  e. 
_V
100 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  x  e. 
_V
10199, 100f1osn 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { <. y ,  x >. } : { y } -1-1-onto-> { x }
102 f1oen3g 6873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { <. y ,  x >. }  e.  _V  /\  {
<. y ,  x >. } : { y } -1-1-onto-> { x } )  ->  { y }  ~~  { x } )
10398, 101, 102mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { y }  ~~  { x }
104103jctr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  \  { y } )  ~~  x  ->  ( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  {
y }  ~~  {
x } ) )
105 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
106 orddisj 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  x  ->  ( x  i^i  { x } )  =  (/) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  i^i  { x } )  =  (/) )
108 incom 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { y }  i^i  (
w  \  { y } ) )  =  ( ( w  \  { y } )  i^i  { y } )
109 disjdif 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { y }  i^i  (
w  \  { y } ) )  =  (/)
110108, 109eqtr3i 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  \  { y } )  i^i  {
y } )  =  (/)
111107, 110jctil 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( w  \  { y } )  i^i  { y } )  =  (/)  /\  (
x  i^i  { x } )  =  (/) ) )
112 unen 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  {
y }  ~~  {
x } )  /\  ( ( ( w 
\  { y } )  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( x  i^i  {
x } )  =  (/) ) )  ->  (
( w  \  {
y } )  u. 
{ y } ) 
~~  ( x  u. 
{ x } ) )
113104, 111, 112syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  \  {
y } )  ~~  x  /\  x  e.  om )  ->  ( ( w 
\  { y } )  u.  { y } )  ~~  (
x  u.  { x } ) )
114 difsnid 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  w  ->  (
( w  \  {
y } )  u. 
{ y } )  =  w )
115114eqcomd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  w  ->  w  =  ( ( w 
\  { y } )  u.  { y } ) )
116 df-suc 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  suc  x  =  ( x  u. 
{ x } )
117116a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  w  ->  suc  x  =  ( x  u.  { x } ) )
118115, 117breq12d 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  ~~  suc  x  <->  ( (
w  \  { y } )  u.  {
y } )  ~~  ( x  u.  { x } ) ) )
119113, 118syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  x  e.  om )  ->  w  ~~  suc  x ) )
12097, 119sylan2i 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  om )
)  ->  w  ~~  suc  x ) )
121120exp4d 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  w  ->  (
( w  \  {
y } )  ~~  x  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  om  ->  w  ~~  suc  x ) ) ) )
122121com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
y  e.  om  ->  ( x  e.  y  -> 
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  w  ~~  suc  x ) ) ) )
123122imp4b 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  w  ~~  suc  x ) )
12496, 123jcad 521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  ( suc  x  e.  suc  y  /\  w  ~~  suc  x ) ) )
125 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( w  ~~  z  <->  w 
~~  suc  x )
)
126125rspcev 2886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( suc  x  e.  suc  y  /\  w  ~~  suc  x )  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z )
127124, 126syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z ) )
128127exlimdv 1665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  ( w  \  { y } )  ~~  x
)  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z ) )
129 df-rex 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } )  ~~  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x ) )
130 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
w  ~~  x  <->  w  ~~  z ) )
131130cbvrexv 2767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  suc  y
w  ~~  x  <->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z )
132128, 129, 1313imtr4g 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
133132adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
13491, 133syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
135134expl 603 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  w  ->  (
( y  e.  om  /\ 
A. w ( w 
C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
13682eqelsuc 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  w  e.  suc  y )
13782enref 6890 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  ~~  w
138 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
w  ~~  x  <->  w  ~~  w ) )
139138rspcev 2886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  suc  y  /\  w  ~~  w )  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
140136, 137, 139sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
141140a1d 24 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
142141a1d 24 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( y  e.  om  /\ 
A. w ( w 
C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
14350, 135, 142pm2.61ii 159 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
144143ex 425 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
14524, 25, 144alrimd 1751 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  A. w ( w 
C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y
w  ~~  x )
) )
1468, 12, 16, 20, 23, 145finds 4682 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A. w
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) )
147 psseq1 3265 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C.  A  <->  B  C.  A ) )
148 breq1 4028 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  (
w  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
149148rexbidv 2566 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  ( E. x  e.  A  w  ~~  x  <->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) )
150147, 149imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x )  <->  ( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
151150spcgv 2870 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. w ( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x )  -> 
( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
152146, 151syl5 30 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
153152com3l 77 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  ( B  e.  _V  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
154153imp 420 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( B  e.  _V  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) )
1554, 154mpd 16 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1528   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    u. cun 3152    i^i cin 3153    C_ wss 3154    C. wpss 3155   (/)c0 3457   {csn 3642   <.cop 3645   class class class wbr 4025   Ord word 4391   suc csuc 4394   omcom 4656   -1-1-onto->wf1o 5221    ~~ cen 6856
This theorem is referenced by:  ssnnfi  7078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-en 6860
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