Theorem pstr 8652

Description: A poset is transitive.

Assertion

Ref	Expression
pstr	|- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> ARC)

Proof of Theorem pstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pslem 8647	. . . . 5 |- (R e. Poset -> ((A e. V /\ B e. V /\ C e. V) -> (((ARB /\ BRC) -> ARC) /\ ((A e. U.U.R -> ARA) /\ ((ARB /\ BRA) -> A = B)))))
2		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((((ARB /\ BRC) -> ARC) /\ ((A e. U.U.R -> ARA) /\ ((ARB /\ BRA) -> A = B))) -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
3	1, 2	syl6 22	. . . 4 |- (R e. Poset -> ((A e. V /\ B e. V /\ C e. V) -> ((ARB /\ BRC) -> ARC)))
4	3	3imp 827	. . 3 |- ((R e. Poset /\ (A e. V /\ B e. V /\ C e. V) /\ (ARB /\ BRC)) -> ARC)
5		3simp1 788	. . . 4 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> R e. Poset)
6	5	adantr 389	. . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> R e. Poset)
7		brrelex 3207	. . . . . . 7 |- ((Rel R /\ ARB) -> A e. V)
8	7	3adant3 799	. . . . . 6 |- ((Rel R /\ ARB /\ BRC) -> A e. V)
9	8	adantr 389	. . . . 5 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> A e. V)
10		brrelex 3207	. . . . . . 7 |- ((Rel R /\ BRC) -> B e. V)
11	10	3adant2 798	. . . . . 6 |- ((Rel R /\ ARB /\ BRC) -> B e. V)
12	11	adantr 389	. . . . 5 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> B e. V)
13		pm3.27 323	. . . . 5 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> C e. V)
14	9, 12, 13	3jca 819	. . . 4 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> (A e. V /\ B e. V /\ C e. V))
15		psrel 8646	. . . 4 |- (R e. Poset -> Rel R)
16	14, 15	syl3anl1 873	. . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> (A e. V /\ B e. V /\ C e. V))
17		3simpc 787	. . . 4 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> (ARB /\ BRC))
18	17	adantr 389	. . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> (ARB /\ BRC))
19	4, 6, 16, 18	syl3anc 858	. 2 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. V) -> ARC)
20	7, 15	sylan 448	. . . . . . 7 |- ((R e. Poset /\ ARB) -> A e. V)
21		breldmg 3316	. . . . . . 7 |- ((A e. V /\ ARB) -> A e. dom R)
22	20, 21	sylancom 475	. . . . . 6 |- ((R e. Poset /\ ARB) -> A e. dom R)
23		eqid 1475	. . . . . . 7 |- dom R = dom R
24	23	psref 8649	. . . . . 6 |- ((R e. Poset /\ A e. dom R) -> ARA)
25	22, 24	syldan 467	. . . . 5 |- ((R e. Poset /\ ARB) -> ARA)
26	25	3adant3 799	. . . 4 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> ARA)
27	26	adantr 389	. . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ -. C e. V) -> ARA)
28		brprc 2661	. . . 4 |- (-. C e. V -> (ARC <-> ARA))
29	28	adantl 388	. . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ -. C e. V) -> (ARC <-> ARA))
30	27, 29	mpbird 196	. 2 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ -. C e. V) -> ARC)
31	19, 30	pm2.61dan 477	1 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> ARC)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  Rel wrel 3175  Posetcps 8633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ps 8639

Copyright terms: Public domain