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Theorem ptcmplem1 17762
Description: Lemma for ptcmp 17768. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem1
Dummy variables  g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptcmp.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
3 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
5 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
65ptval 17281 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
71, 4, 6syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
8 cmptop 17138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
98ssriv 3197 . . . . . . . . . 10  |-  Comp  C_  Top
10 fss 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
112, 9, 10sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
12 ptcmp.2 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
135, 12ptbasfi 17292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
141, 11, 13syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
15 uncom 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  S )
16 ptcmp.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
1716rneqi 4921 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  S  =  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
1817uneq2i 3339 . . . . . . . . . 10  |-  ( { X }  u.  ran  S )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
1915, 18eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
2019fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  =  ( fi
`  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
2114, 20syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2221fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
237, 22eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
2423unieqd 3854 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
25 fibas 16731 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  e.  TopBases
26 unitg 16721 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) )  e.  TopBases 
->  U. ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . 4  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )
2824, 27syl6eq 2344 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
29 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
3029ptuni 17305 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
311, 11, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
3212, 31syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( Xt_ `  F ) )
33 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
3433mptpreima 5182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }
35 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }  C_  X
3634, 35eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X
37 ptcmp.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
39 elpw2g 4190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  ~P X 
<->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  C_  X ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  ~P X  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X )
)
4136, 40mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4241ralrimivva 2648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k )
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4316fmpt2x 6206 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k ) ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ~P X  <->  S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X )
4442, 43sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : U_ k  e.  A  ( {
k }  X.  ( F `  k )
) --> ~P X )
45 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X  ->  ran  S 
C_  ~P X )
4644, 45syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  ~P X )
47 pwexg 4210 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ~P X  e.  _V )
4837, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  _V )
49 ssexg 4176 . . . . . 6  |-  ( ( ran  S  C_  ~P X  /\  ~P X  e. 
_V )  ->  ran  S  e.  _V )
5046, 48, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  e.  _V )
51 snex 4232 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
52 unexg 4537 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  e.  _V  /\ 
{ X }  e.  _V )  ->  ( ran 
S  u.  { X } )  e.  _V )
5350, 51, 52sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  S  u.  { X } )  e. 
_V )
54 fiuni 7197 . . . 4  |-  ( ( ran  S  u.  { X } )  e.  _V  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5553, 54syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5628, 32, 553eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
5756, 23jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   U_ciun 3921    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271    e. cmpt2 5876   X_cixp 6833   Fincfn 6879   ficfi 7180   cardccrd 7584   topGenctg 13358   Xt_cpt 13359   Topctop 16647   TopBasesctb 16651   Compccmp 17129  UFLcufl 17611
This theorem is referenced by:  ptcmplem5  17766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-cmp 17130
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