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Theorem ptcnp 17656
Description: If every projection of a function is continuous at  D, then the function itself is continuous at  D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcnp.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcnp.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcnp.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcnp.6  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
ptcnp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
Assertion
Ref Expression
ptcnp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D ) )
Distinct variable groups:    x, k, D    k, I, x    k, J    ph, k, x    k, F, x    k, V, x   
k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    J( x)    K( x, k)

Proof of Theorem ptcnp
Dummy variables  f 
g  w  z  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnp.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
21adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 ptcnp.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
43ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
65toptopon 17000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
74, 6sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
8 ptcnp.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
9 cnpf2 17316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
102, 7, 8, 9syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
11 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1211fmpt 5892 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
1310, 12sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
1413r19.21bi 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1514an32s 781 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1615ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k
) )
17 ptcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1817adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
19 mptelixpg 7101 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2116, 20mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
)
22 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
2321, 22fmptd 5895 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> X_ k  e.  I  U. ( F `  k
) )
24 df-3an 939 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )
25 ptcnp.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
26 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
27 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )
28 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( w  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)
29 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k X
30 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( k  e.  I  |->  A )
3129, 30nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
32 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k D
3331, 32nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
3433nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)
3528, 34nfan 1847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )
3627, 35nfan 1847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I 
\  w ) ( g `  n )  =  U. ( F `
 n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )
37 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
38 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )
39 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
g `  n )  =  ( g `  k ) )
40 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
4139, 40eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( g `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
4241rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  k  e.  I )  ->  ( g `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
4338, 42sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( g `  k )  e.  ( F `  k ) )
44 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )
4544simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  w  e.  Fin )
4644simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )
4740unieqd 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
4839, 47eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  n
)  =  U. ( F `  n )  <->  ( g `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
4948rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )  /\  k  e.  (
I  \  w )
)  ->  ( g `  k )  =  U. ( F `  k ) )
5046, 49sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )  /\  k  e.  ( I  \  w ) )  ->  ( g `  k )  =  U. ( F `  k ) )
51 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )
5239cbvixpv 7082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ n  e.  I  ( g `  n )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
5351, 52syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )
5425, 1, 17, 3, 26, 8, 36, 37, 43, 45, 50, 53ptcnplem 17655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
5554anassrs 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
5655expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  /\  ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
5756rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I 
\  w ) ( g `  n )  =  U. ( F `
 n )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
5857impr 604 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
5924, 58sylan2b 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
60 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  <-> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )
6152eqeq2i 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  <->  f  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
)
6261biimpi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  f  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )
6362sseq2d 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
6463anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f )  <->  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
6564rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f )  <->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
6660, 65imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) )  <->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I  (
g `  n )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
6759, 66syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
) )  ->  (
f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
6867expimpd 588 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
6968exlimdv 1647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7069alrimiv 1642 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
71 eqeq1 2444 . . . . . 6  |-  ( a  =  f  ->  (
a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n )  <->  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) )
7271anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( a  =  f  ->  (
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )
7372exbidv 1637 . . . 4  |-  ( a  =  f  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )
7473ralab 3097 . . 3  |-  ( A. f  e.  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) )  <->  A. f
( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7570, 74sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  {
a  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) }  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f ) ) )
76 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( F : I --> Top  ->  F  Fn  I )
773, 76syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  I )
78 eqid 2438 . . . . . 6  |-  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) }  =  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }
7978ptval 17604 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
8017, 77, 79syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
8125, 80syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
823feqmptd 5781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  I  |->  ( F `
 k ) ) )
8382fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) ) )
8425, 83syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) ) )
857ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  (TopOn `  U. ( F `  k
) ) )
86 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )
8786pttopon 17630 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A. k  e.  I  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
) )
8817, 85, 87syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k
) ) )
8984, 88eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k ) ) )
901, 81, 89, 26tgcnp 17319 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  /\  A. f  e. 
{ a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) ) )
9123, 75, 90mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    C_ wss 3322   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   X_cixp 7065   Fincfn 7111   topGenctg 13667   Xt_cpt 13668   Topctop 16960  TopOnctopon 16961    CnP ccnp 17291
This theorem is referenced by:  ptcn  17661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-fi 7418  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cnp 17294
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