MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcnp Unicode version

Theorem ptcnp 17607
Description: If every projection of a function is continuous at  D, then the function itself is continuous at  D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcnp.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcnp.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcnp.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcnp.6  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
ptcnp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
Assertion
Ref Expression
ptcnp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D ) )
Distinct variable groups:    x, k, D    k, I, x    k, J    ph, k, x    k, F, x    k, V, x   
k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    J( x)    K( x, k)

Proof of Theorem ptcnp
Dummy variables  f 
g  w  z  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnp.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
21adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 ptcnp.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
43ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
5 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
65toptopon 16953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
74, 6sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
8 ptcnp.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
9 cnpf2 17268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
102, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
11 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1211fmpt 5849 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
1310, 12sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
1413r19.21bi 2764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1514an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1615ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k
) )
17 ptcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1817adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
19 mptelixpg 7058 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2116, 20mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
)
22 eqid 2404 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
2321, 22fmptd 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> X_ k  e.  I  U. ( F `  k
) )
24 df-3an 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )
25 ptcnp.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
26 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
27 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )
28 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( w  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)
29 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k X
30 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( k  e.  I  |->  A )
3129, 30nfmpt 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
32 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k D
3331, 32nffv 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
3433nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)
3528, 34nfan 1842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )
3627, 35nfan 1842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I 
\  w ) ( g `  n )  =  U. ( F `
 n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )
37 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
38 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )
39 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
g `  n )  =  ( g `  k ) )
40 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
4139, 40eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( g `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
4241rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  k  e.  I )  ->  ( g `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
4338, 42sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( g `  k )  e.  ( F `  k ) )
44 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )
4544simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  w  e.  Fin )
4644simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )
4740unieqd 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
4839, 47eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  n
)  =  U. ( F `  n )  <->  ( g `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
4948rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )  /\  k  e.  (
I  \  w )
)  ->  ( g `  k )  =  U. ( F `  k ) )
5046, 49sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )  /\  k  e.  ( I  \  w ) )  ->  ( g `  k )  =  U. ( F `  k ) )
51 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )
5239cbvixpv 7039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ n  e.  I  ( g `  n )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
5351, 52syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )
5425, 1, 17, 3, 26, 8, 36, 37, 43, 45, 50, 53ptcnplem 17606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
5554anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
5655expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  /\  ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
5756rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I 
\  w ) ( g `  n )  =  U. ( F `
 n )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
5857impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
5924, 58sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
60 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  <-> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )
6152eqeq2i 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  <->  f  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
)
6261biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  f  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )
6362sseq2d 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
6463anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f )  <->  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
6564rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f )  <->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
6660, 65imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) )  <->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I  (
g `  n )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
6759, 66syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
) )  ->  (
f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
6867expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
6968exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7069alrimiv 1638 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
71 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( a  =  f  ->  (
a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n )  <->  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) )
7271anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( a  =  f  ->  (
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )
7372exbidv 1633 . . . 4  |-  ( a  =  f  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )
7473ralab 3055 . . 3  |-  ( A. f  e.  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) )  <->  A. f
( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7570, 74sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  {
a  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) }  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f ) ) )
76 ffn 5550 . . . . . 6  |-  ( F : I --> Top  ->  F  Fn  I )
773, 76syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  I )
78 eqid 2404 . . . . . 6  |-  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) }  =  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }
7978ptval 17555 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
8017, 77, 79syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
8125, 80syl5eq 2448 . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
823feqmptd 5738 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  I  |->  ( F `
 k ) ) )
8382fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) ) )
8425, 83syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) ) )
857ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  (TopOn `  U. ( F `  k
) ) )
86 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )
8786pttopon 17581 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A. k  e.  I  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
) )
8817, 85, 87syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k
) ) )
8984, 88eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k ) ) )
901, 81, 89, 26tgcnp 17271 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  /\  A. f  e. 
{ a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) ) )
9123, 75, 90mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    C_ wss 3280   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   X_cixp 7022   Fincfn 7068   topGenctg 13620   Xt_cpt 13621   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    CnP ccnp 17243
This theorem is referenced by:  ptcn  17612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cnp 17246
  Copyright terms: Public domain W3C validator