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Theorem ptolemy 19860
Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 12448, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptolemy  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  C )  x.  ( sin `  D ) ) )  =  ( ( sin `  ( B  +  C ) )  x.  ( sin `  ( A  +  C )
) ) )

Proof of Theorem ptolemy
StepHypRef Expression
1 addcl 8815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  +  D
)  e.  CC )
213ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( C  +  D
)  e.  CC )
32coscld 12407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  ( C  +  D )
)  e.  CC )
43negnegd 9144 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  ->  -u -u ( cos `  ( C  +  D )
)  =  ( cos `  ( C  +  D
) ) )
5 cosmpi 19852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  +  D )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( C  +  D )  -  pi ) )  =  -u ( cos `  ( C  +  D ) ) )
62, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  (
( C  +  D
)  -  pi ) )  =  -u ( cos `  ( C  +  D ) ) )
7 addid2 8991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +  D )  e.  CC  ->  (
0  +  ( C  +  D ) )  =  ( C  +  D ) )
87oveq1d 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  +  D )  e.  CC  ->  (
( 0  +  ( C  +  D ) )  -  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) ) )  =  ( ( C  +  D )  -  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) ) ) )
92, 8syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( 0  +  ( C  +  D
) )  -  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) ) )  =  ( ( C  +  D )  -  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D
) ) ) )
10 0cn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
1110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
0  e.  CC )
12 addcl 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
14133adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
1511, 14, 2pnpcan2d 9191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( 0  +  ( C  +  D
) )  -  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) ) )  =  ( 0  -  ( A  +  B ) ) )
16 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) )  =  pi )
1716oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( C  +  D )  -  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) ) )  =  ( ( C  +  D )  -  pi ) )
189, 15, 173eqtr3rd 2325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( C  +  D )  -  pi )  =  ( 0  -  ( A  +  B ) ) )
19 df-neg 9036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u ( A  +  B )  =  ( 0  -  ( A  +  B
) )
2018, 19syl6eqr 2334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( C  +  D )  -  pi )  =  -u ( A  +  B ) )
2120fveq2d 5490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  (
( C  +  D
)  -  pi ) )  =  ( cos `  -u ( A  +  B ) ) )
22 cosneg 12423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( A  +  B ) )  =  ( cos `  ( A  +  B )
) )
2314, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  -u ( A  +  B )
)  =  ( cos `  ( A  +  B
) ) )
2421, 23eqtrd 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  (
( C  +  D
)  -  pi ) )  =  ( cos `  ( A  +  B
) ) )
256, 24eqtr3d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  ->  -u ( cos `  ( C  +  D )
)  =  ( cos `  ( A  +  B
) ) )
2625negeqd 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  ->  -u -u ( cos `  ( C  +  D )
)  =  -u ( cos `  ( A  +  B ) ) )
274, 26eqtr3d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  ( C  +  D )
)  =  -u ( cos `  ( A  +  B ) ) )
2827oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  ( C  -  D )
)  -  ( cos `  ( C  +  D
) ) )  =  ( ( cos `  ( C  -  D )
)  -  -u ( cos `  ( A  +  B ) ) ) )
29 subcl 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  -  D
)  e.  CC )
3029adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( C  -  D
)  e.  CC )
3130coscld 12407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( cos `  ( C  -  D )
)  e.  CC )
32313adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  ( C  -  D )
)  e.  CC )
3314coscld 12407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  ( A  +  B )
)  e.  CC )
3432, 33subnegd 9160 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  ( C  -  D )
)  -  -u ( cos `  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( cos `  ( C  -  D
) )  +  ( cos `  ( A  +  B ) ) ) )
3528, 34eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  ( C  -  D )
)  -  ( cos `  ( C  +  D
) ) )  =  ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )
3635oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( cos `  ( C  -  D
) )  -  ( cos `  ( C  +  D ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( cos `  ( C  -  D
) )  +  ( cos `  ( A  +  B ) ) )  /  2 ) )
3736oveq2d 5836 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  /  2
)  +  ( ( ( cos `  ( C  -  D )
)  -  ( cos `  ( C  +  D
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  /  2
)  +  ( ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  / 
2 ) ) )
38 subcl 9047 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
39383ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( A  -  B
)  e.  CC )
4039coscld 12407 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  ( A  -  B )
)  e.  CC )
4140, 33subcld 9153 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  ( A  -  B )
)  -  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  e.  CC )
4232, 33addcld 8850 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  e.  CC )
43 2cn 9812 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
44 2ne0 9825 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
4543, 44pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
4645a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
47 divdir 9443 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  -  B )
)  -  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( C  -  D ) )  +  ( cos `  ( A  +  B )
) )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( cos `  ( A  -  B )
)  -  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  +  ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  /  2
)  +  ( ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  / 
2 ) ) )
4841, 42, 46, 47syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  +  ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  /  2
)  +  ( ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  / 
2 ) ) )
4940, 33, 32nppcan3d 9180 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  -  ( cos `  ( A  +  B ) ) )  +  ( ( cos `  ( C  -  D
) )  +  ( cos `  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( A  -  B )
)  +  ( cos `  ( C  -  D
) ) ) )
5049oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  +  ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) )  /  2 ) )
5148, 50eqtr3d 2318 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  /  2
)  +  ( ( ( cos `  ( C  -  D )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) )  /  2 ) )
5237, 51eqtrd 2316 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( ( cos `  ( A  -  B ) )  -  ( cos `  ( A  +  B )
) )  /  2
)  +  ( ( ( cos `  ( C  -  D )
)  -  ( cos `  ( C  +  D
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) )  /  2 ) )
53 sinmul 12448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  -  ( cos `  ( A  +  B ) ) )  /  2 ) )
54533ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  -  ( cos `  ( A  +  B ) ) )  /  2 ) )
55 sinmul 12448 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( sin `  C
)  x.  ( sin `  D ) )  =  ( ( ( cos `  ( C  -  D
) )  -  ( cos `  ( C  +  D ) ) )  /  2 ) )
56553ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( sin `  C
)  x.  ( sin `  D ) )  =  ( ( ( cos `  ( C  -  D
) )  -  ( cos `  ( C  +  D ) ) )  /  2 ) )
5754, 56oveq12d 5838 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  C )  x.  ( sin `  D ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( A  -  B )
)  -  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  / 
2 )  +  ( ( ( cos `  ( C  -  D )
)  -  ( cos `  ( C  +  D
) ) )  / 
2 ) ) )
58 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
59 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
60 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
6158, 59, 60pnpcan2d 9191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( B  +  C )  -  ( A  +  C )
)  =  ( B  -  A ) )
6261fveq2d 5490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( cos `  (
( B  +  C
)  -  ( A  +  C ) ) )  =  ( cos `  ( B  -  A
) ) )
63623adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  (
( B  +  C
)  -  ( A  +  C ) ) )  =  ( cos `  ( B  -  A
) ) )
641adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( C  +  D
)  e.  CC )
6513, 64, 303jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  e.  CC  /\  ( C  +  D
)  e.  CC  /\  ( C  -  D
)  e.  CC ) )
66653adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( A  +  B )  e.  CC  /\  ( C  +  D
)  e.  CC  /\  ( C  -  D
)  e.  CC ) )
67 addass 8820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( C  +  D
)  e.  CC  /\  ( C  -  D
)  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) )  +  ( C  -  D
) )  =  ( ( A  +  B
)  +  ( ( C  +  D )  +  ( C  -  D ) ) ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D
) )  +  ( C  -  D ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( ( C  +  D )  +  ( C  -  D
) ) ) )
69 oveq1 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi  ->  (
( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) )  +  ( C  -  D ) )  =  ( pi  +  ( C  -  D
) ) )
70693ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D
) )  +  ( C  -  D ) )  =  ( pi  +  ( C  -  D ) ) )
71 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
72 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
7371, 72, 713jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  C  e.  CC )
)
74733ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( C  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  C  e.  CC )
)
75 ppncan 9085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( C  +  D
)  +  ( C  -  D ) )  =  ( C  +  C ) )
7675oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  +  ( ( C  +  D )  +  ( C  -  D ) ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C
) ) )
7774, 76syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( A  +  B )  +  ( ( C  +  D
)  +  ( C  -  D ) ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) ) )
78 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
7971, 71jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  e.  CC ) )
80793ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( C  e.  CC  /\  C  e.  CC ) )
81 add4 9023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
8278, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
83 addcl 8815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  +  C
)  e.  CC )
8483ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  +  C
)  e.  CC )
85 addcl 8815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
8685ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  +  C
)  e.  CC )
8784, 86jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  C )  e.  CC  /\  ( B  +  C
)  e.  CC ) )
88873adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( A  +  C )  e.  CC  /\  ( B  +  C
)  e.  CC ) )
89 addcom 8994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  +  C
)  e.  CC  /\  ( B  +  C
)  e.  CC )  ->  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C
) )  =  ( ( B  +  C
)  +  ( A  +  C ) ) )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) )  =  ( ( B  +  C )  +  ( A  +  C ) ) )
9177, 82, 903eqtrd 2320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( A  +  B )  +  ( ( C  +  D
)  +  ( C  -  D ) ) )  =  ( ( B  +  C )  +  ( A  +  C ) ) )
9268, 70, 913eqtr3rd 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( B  +  C )  +  ( A  +  C ) )  =  ( pi  +  ( C  -  D ) ) )
93 pire 19828 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
9493recni 8845 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
95 addcom 8994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( C  -  D
)  e.  CC )  ->  ( pi  +  ( C  -  D
) )  =  ( ( C  -  D
)  +  pi ) )
9694, 30, 95sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( pi  +  ( C  -  D ) )  =  ( ( C  -  D )  +  pi ) )
97963adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( pi  +  ( C  -  D ) )  =  ( ( C  -  D )  +  pi ) )
9892, 97eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( B  +  C )  +  ( A  +  C ) )  =  ( ( C  -  D )  +  pi ) )
9998fveq2d 5490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  (
( B  +  C
)  +  ( A  +  C ) ) )  =  ( cos `  ( ( C  -  D )  +  pi ) ) )
100 cosppi 19854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  -  D )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( C  -  D )  +  pi ) )  = 
-u ( cos `  ( C  -  D )
) )
10130, 100syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( cos `  (
( C  -  D
)  +  pi ) )  =  -u ( cos `  ( C  -  D ) ) )
1021013adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  (
( C  -  D
)  +  pi ) )  =  -u ( cos `  ( C  -  D ) ) )
10399, 102eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  (
( B  +  C
)  +  ( A  +  C ) ) )  =  -u ( cos `  ( C  -  D ) ) )
10463, 103oveq12d 5838 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  (
( B  +  C
)  -  ( A  +  C ) ) )  -  ( cos `  ( ( B  +  C )  +  ( A  +  C ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( B  -  A )
)  -  -u ( cos `  ( C  -  D ) ) ) )
105 subcl 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
106105ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
107106adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  CC )
108107coscld 12407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( cos `  ( B  -  A )
)  e.  CC )
109108, 31subnegd 9160 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( cos `  ( B  -  A )
)  -  -u ( cos `  ( C  -  D ) ) )  =  ( ( cos `  ( B  -  A
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) ) )
1101093adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  ( B  -  A )
)  -  -u ( cos `  ( C  -  D ) ) )  =  ( ( cos `  ( B  -  A
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) ) )
111104, 110eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  (
( B  +  C
)  -  ( A  +  C ) ) )  -  ( cos `  ( ( B  +  C )  +  ( A  +  C ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( B  -  A )
)  +  ( cos `  ( C  -  D
) ) ) )
112111oveq1d 5835 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( cos `  ( ( B  +  C )  -  ( A  +  C )
) )  -  ( cos `  ( ( B  +  C )  +  ( A  +  C
) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( cos `  ( B  -  A
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) )  /  2 ) )
113 sinmul 12448 . . . . 5  |-  ( ( ( B  +  C
)  e.  CC  /\  ( A  +  C
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( B  +  C
) )  x.  ( sin `  ( A  +  C ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( ( B  +  C )  -  ( A  +  C ) ) )  -  ( cos `  (
( B  +  C
)  +  ( A  +  C ) ) ) )  /  2
) )
11486, 84, 113syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( sin `  ( B  +  C )
)  x.  ( sin `  ( A  +  C
) ) )  =  ( ( ( cos `  ( ( B  +  C )  -  ( A  +  C )
) )  -  ( cos `  ( ( B  +  C )  +  ( A  +  C
) ) ) )  /  2 ) )
1151143adant3 975 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( sin `  ( B  +  C )
)  x.  ( sin `  ( A  +  C
) ) )  =  ( ( ( cos `  ( ( B  +  C )  -  ( A  +  C )
) )  -  ( cos `  ( ( B  +  C )  +  ( A  +  C
) ) ) )  /  2 ) )
116 cosneg 12423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( A  -  B ) )  =  ( cos `  ( A  -  B )
) )
11738, 116syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  -u ( A  -  B )
)  =  ( cos `  ( A  -  B
) ) )
118 negsubdi2 9102 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  ( B  -  A ) )
119118fveq2d 5490 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  -u ( A  -  B )
)  =  ( cos `  ( B  -  A
) ) )
120117, 119eqtr3d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( cos `  ( B  -  A
) ) )
1211203ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( cos `  ( B  -  A
) ) )
122121oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( cos `  ( A  -  B )
)  +  ( cos `  ( C  -  D
) ) )  =  ( ( cos `  ( B  -  A )
)  +  ( cos `  ( C  -  D
) ) ) )
123122oveq1d 5835 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( cos `  ( B  -  A ) )  +  ( cos `  ( C  -  D )
) )  /  2
) )
124112, 115, 1233eqtr4d 2326 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( sin `  ( B  +  C )
)  x.  ( sin `  ( A  +  C
) ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( C  -  D ) ) )  /  2 ) )
12552, 57, 1243eqtr4d 2326 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  (
( A  +  B
)  +  ( C  +  D ) )  =  pi )  -> 
( ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  C )  x.  ( sin `  D ) ) )  =  ( ( sin `  ( B  +  C ) )  x.  ( sin `  ( A  +  C )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733    + caddc 8736    x. cmul 8738    - cmin 9033   -ucneg 9034    / cdiv 9419   2c2 9791   sincsin 12341   cosccos 12342   picpi 12344
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213
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