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Theorem pwcfsdom 8138
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8124. Theorem 11.28 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pwcfsdom.1  |-  H  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
pwcfsdom  |-  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )
Distinct variable group:    A, f, y
Allowed substitution hints:    H( y, f)

Proof of Theorem pwcfsdom
StepHypRef Expression
1 onzsl 4574 . . . 4  |-  ( A  e.  On  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\  Lim  A
) ) )
21biimpi 188 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\  Lim  A ) ) )
3 cfom 7823 . . . . . . 7  |-  ( cf ` 
om )  =  om
4 aleph0 7626 . . . . . . . 8  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
54fveq2i 5426 . . . . . . 7  |-  ( cf `  ( aleph `  (/) ) )  =  ( cf `  om )
63, 5, 43eqtr4i 2286 . . . . . 6  |-  ( cf `  ( aleph `  (/) ) )  =  ( aleph `  (/) )
7 fveq2 5423 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( aleph `  A )  =  (
aleph `  (/) ) )
87fveq2d 5427 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A )
)  =  ( cf `  ( aleph `  (/) ) ) )
96, 8, 73eqtr4a 2314 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A ) )
10 fvex 5437 . . . . . . . . 9  |-  ( aleph `  A )  e.  _V
1110canth2 6947 . . . . . . . 8  |-  ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A )
1210pw2en 6902 . . . . . . . 8  |-  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )
13 sdomentr 6928 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A
)  /\  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) ) )
1411, 12, 13mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )
15 alephon 7629 . . . . . . . . 9  |-  ( aleph `  A )  e.  On
16 alephgeom 7642 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
17 omelon 7280 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
18 2onn 6571 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
19 onelss 4371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om  e.  On  ->  ( 2o  e.  om  ->  2o  C_ 
om ) )
2017, 18, 19mp2 19 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  C_  om
21 sstr 3129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  C_  om  /\  om  C_  ( aleph `  A )
)  ->  2o  C_  ( aleph `  A ) )
2220, 21mpan 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  2o  C_  ( aleph `  A ) )
2316, 22sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  2o  C_  ( aleph `  A )
)
24 ssdomg 6840 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( 2o  C_  ( aleph `  A )  ->  2o  ~<_  ( aleph `  A
) ) )
2515, 23, 24mpsyl 61 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  2o  ~<_  ( aleph `  A )
)
26 mapdom1 6959 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  ~<_  ( aleph `  A )  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<_  ( (
aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
28 sdomdomtr 6927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
2914, 27, 28sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( aleph `  A ) ) )
30 oveq2 5765 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A )  ->  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) )  =  ( ( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
3130breq2d 3975 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A )  ->  ( ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  <->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
3229, 31syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A
)  ->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) ) )
339, 32syl5 30 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
34 alephreg 8137 . . . . . . 7  |-  ( cf `  ( aleph `  suc  x ) )  =  ( aleph ` 
suc  x )
35 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( aleph `  A )  =  ( aleph `  suc  x ) )
3635fveq2d 5427 . . . . . . 7  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( cf `  ( aleph `  suc  x ) ) )
3734, 36, 353eqtr4a 2314 . . . . . 6  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A
) )
3837rexlimivw 2634 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  ->  ( cf `  ( aleph `  A
) )  =  (
aleph `  A ) )
3938, 32syl5 30 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
40 cfsmo 7830 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) ) )
41 limelon 4392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
42 ffn 5292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A )
) )
43 fnrnfv 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ran  f  =  { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) y  =  ( f `  x ) } )
4443unieqd 3779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  U. ran  f  = 
U. { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `  x ) } )
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U. ran  f  = 
U. { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `  x ) } )
46 fvex 5437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4746dfiun2 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)  =  U. {
y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `
 x ) }
4845, 47syl6eqr 2306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U. ran  f  = 
U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) )
4948ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U. ran  f  = 
U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) )
50 fnfvelrn 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A )
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  w )  e.  ran  f )
5142, 50sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  w )  e.  ran  f )
52 sseq2 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( f `  w )  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
5352rcla4ev 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f `  w
)  e.  ran  f  /\  z  C_  ( f `
 w ) )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5451, 53sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) )  /\  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5554ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( z  C_  ( f `  w
)  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5655rexlimdva 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5756ralimdv 2593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
)  ->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5857imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5958adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  A. z  e.  (
aleph `  A ) E. y  e.  ran  f 
z  C_  y )
60 alephislim 7643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  <->  Lim  ( aleph `  A ) )
6160biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  Lim  ( aleph `  A )
)
62 frn 5298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ran  f  C_  ( aleph `  A ) )
6362adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  ran  f  C_  ( aleph `  A
) )
64 coflim 7820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  ( aleph `  A
)  /\  ran  f  C_  ( aleph `  A )
)  ->  ( U. ran  f  =  ( aleph `  A )  <->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
6561, 63, 64syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( U. ran  f  =  ( aleph `  A )  <->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
6659, 65mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U. ran  f  =  ( aleph `  A )
)
6749, 66eqtr3d 2290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x )  =  ( aleph `  A
) )
68 ffvelrn 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  (
aleph `  A ) )
6915oneli 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  A
)  ->  ( f `  x )  e.  On )
70 harcard 7544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  (har `  ( f `  x ) ) )  =  (har `  (
f `  x )
)
71 iscard 7541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  (har `  (
f `  x )
) )  =  (har
`  ( f `  x ) )  <->  ( (har `  ( f `  x
) )  e.  On  /\ 
A. y  e.  (har
`  ( f `  x ) ) y 
~<  (har `  ( f `  x ) ) ) )
7271simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  (har `  (
f `  x )
) )  =  (har
`  ( f `  x ) )  ->  A. y  e.  (har `  ( f `  x
) ) y  ~< 
(har `  ( f `  x ) ) )
7370, 72ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. y  e.  (har `  ( f `  x ) ) y 
~<  (har `  ( f `  x ) )
74 domrefg 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
f `  x )  ~<_  ( f `  x
) )
7546, 74ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f `
 x )  ~<_  ( f `  x )
76 elharval 7210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  x )  e.  (har `  (
f `  x )
)  <->  ( ( f `
 x )  e.  On  /\  ( f `
 x )  ~<_  ( f `  x ) ) )
7776biimpri 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  On  /\  ( f `  x
)  ~<_  ( f `  x ) )  -> 
( f `  x
)  e.  (har `  ( f `  x
) ) )
7875, 77mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  On  ->  (
f `  x )  e.  (har `  ( f `  x ) ) )
79 breq1 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
y  ~<  (har `  (
f `  x )
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
8079rcla4cv 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  (har `  (
f `  x )
) y  ~<  (har `  ( f `  x
) )  ->  (
( f `  x
)  e.  (har `  ( f `  x
) )  ->  (
f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x ) ) ) )
8173, 78, 80mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  On  ->  (
f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x ) ) )
8268, 69, 813syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) )
83 harcl 7208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (har `  ( f `  x
) )  e.  On
84 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
f `  y )  =  ( f `  x ) )
8584fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (har `  ( f `  y
) )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
86 pwcfsdom.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  y ) ) )
8785, 86fvmptg 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
)  /\  (har `  (
f `  x )
)  e.  On )  ->  ( H `  x )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
8883, 87mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ( H `  x )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
8988breq2d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ( ( f `
 x )  ~< 
( H `  x
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
9089adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( ( f `
 x )  ~< 
( H `  x
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
9182, 90mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  ~<  ( H `  x )
)
9291ralrimiva 2597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  ( H `  x
) )
93 fvex 5437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( cf `  ( aleph `  A )
)  e.  _V
94 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)  =  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)
95 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  =  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)
9693, 94, 95konigth 8124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( f `  x )  ~<  ( H `  x )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9792, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9897ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9967, 98eqbrtrrd 3985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
10041, 99sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
101 ovex 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  e.  _V
10268ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
103 alephlim 7627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( aleph `  y )
)
104103eleq2d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A )  <->  ( f `  x )  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y ) ) )
105 eliun 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  x )  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y
)  <->  E. y  e.  A  ( f `  x
)  e.  ( aleph `  y ) )
106 alephcard 7630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( card `  ( aleph `  y )
)  =  ( aleph `  y )
107106eleq2i 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x )  e.  ( card `  ( aleph `  y ) )  <-> 
( f `  x
)  e.  ( aleph `  y ) )
108 cardsdomelir 7539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x )  e.  ( card `  ( aleph `  y ) )  ->  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
109107, 108sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  y
)  ->  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
110 elharval 7210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  <->  ( ( aleph `  y )  e.  On  /\  ( aleph `  y )  ~<_  ( f `
 x ) ) )
111110simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  -> 
( aleph `  y )  ~<_  ( f `  x
) )
112 domnsym 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
aleph `  y )  ~<_  ( f `  x )  ->  -.  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  ->  -.  ( f `  x
)  ~<  ( aleph `  y
) )
114113con2i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x ) 
~<  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  e.  (har `  ( f `  x
) ) )
115 alephon 7629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( aleph `  y )  e.  On
116 ontri1 4363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  e.  On  /\  ( aleph `  y )  e.  On )  ->  ( (har `  ( f `  x
) )  C_  ( aleph `  y )  <->  -.  ( aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) ) ) )
11783, 115, 116mp2an 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (har
`  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  <->  -.  ( aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) ) )
118114, 117sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  x ) 
~<  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )
)
119109, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  y
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  C_  ( aleph `  y ) )
120 alephord2i 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
) )
121120imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)
122 ontr2 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  e.  On  /\  ( aleph `  A )  e.  On )  ->  ( ( (har
`  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  /\  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
12383, 15, 122mp2an 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  /\  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
124119, 121, 123syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( f `  x )  e.  (
aleph `  y ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
125124exp31 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( f `  x )  e.  (
aleph `  y )  -> 
(har `  ( f `  x ) )  e.  ( aleph `  A )
) ) )
126125rexlimdv 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y  e.  A  ( f `  x
)  e.  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
127105, 126syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
12841, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
129104, 128sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
130102, 129sylan9r 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
131130imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A ) )  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
13285cbvmptv 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) 
|->  (har `  ( f `  y ) ) )  =  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) 
|->  (har `  ( f `  x ) ) )
13386, 132eqtri 2276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  x ) ) )
134131, 133fmptd 5583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  H :
( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)
135 ffvelrn 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  (
aleph `  A ) )
136 onelss 4371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( ( H `  x )  e.  ( aleph `  A )  ->  ( H `  x
)  C_  ( aleph `  A ) ) )
13715, 135, 136mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  C_  ( aleph `  A ) )
138137ralrimiva 2597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) 
C_  ( aleph `  A
) )
139 ss2ixp 6762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  ( aleph `  A )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( aleph `  A )
)
14093, 10ixpconst 6759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( aleph `  A )  =  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )
141139, 140syl6sseq 3166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  ( aleph `  A )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) )
142134, 138, 1413syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  C_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) )
143 ssdomg 6840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  e.  _V  ->  (
X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) 
C_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  ~<_  ( (
aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) ) )
144101, 142, 143mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  ~<_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
145144adantrr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
146 sdomdomtr 6927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~< 
X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  /\  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
147100, 145, 146syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
148147expcom 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
1491483adant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) )  -> 
( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
150149exlimiv 2024 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) )  -> 
( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
15115, 40, 150mp2b 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
152151a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
15333, 39, 1523jaod 1251 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
1542, 153mpd 16 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
155 alephfnon 7625 . . . . 5  |-  aleph  Fn  On
156 fndm 5246 . . . . 5  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
157155, 156ax-mp 10 . . . 4  |-  dom  aleph  =  On
158157eleq2i 2320 . . 3  |-  ( A  e.  dom  aleph  <->  A  e.  On )
159 ndmfv 5451 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
160 1n0 6427 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
161 1on 6419 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
162161elexi 2749 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
1631620sdom 6925 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  1o 
<->  1o  =/=  (/) )
164160, 163mpbir 202 . . . . 5  |-  (/)  ~<  1o
165 id 21 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  =  (/) )
166 fveq2 5423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( cf `  (/) ) )
167 cf0 7810 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
168166, 167syl6eq 2304 . . . . . . . 8  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  (/) )
169165, 168oveq12d 5775 . . . . . . 7  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  =  ( (/)  ^m  (/) ) )
170 0ex 4090 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
171 map0e 6738 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  ^m  (/) )  =  1o )
172170, 171ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ^m  (/) )  =  1o
173169, 172syl6eq 2304 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  =  1o )
174165, 173breq12d 3976 . . . . 5  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  <->  (/)  ~<  1o )
)
175164, 174mpbiri 226 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
176159, 175syl 17 . . 3  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
177158, 176sylnbir 300 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  (
aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
178154, 177pm2.61i 158 1  |-  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 938    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   (/)c0 3397   ~Pcpw 3566   U.cuni 3768   U_ciun 3846   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   Oncon0 4329   Lim wlim 4330   suc csuc 4331   omcom 4593   dom cdm 4626   ran crn 4627    Fn wfn 4633   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Smo wsmo 6295   1oc1o 6405   2oc2o 6406    ^m cmap 6705   X_cixp 6750    ~~ cen 6793    ~<_ cdom 6794    ~< csdm 6795  harchar 7203   cardccrd 7501   alephcale 7502   cfccf 7503
This theorem is referenced by:  cfpwsdom  8139  tskcard  8336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-ac2 8022
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-smo 6296  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-oi 7158  df-har 7205  df-card 7505  df-aleph 7506  df-cf 7507  df-acn 7508  df-ac 7676
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