Theorem pwen 4483

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87.

Hypothesis

Ref	Expression
pwen.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
pwen	|- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4354	. . 3 |- Rel ~~
2	1	brrelexi 3198	. 2 |- (A ~~ B -> A e. V)
3		breq1 2612	. . . 4 |- (x = A -> (x ~~ B <-> A ~~ B))
4		pweq 2393	. . . . 5 |- (x = A -> P~x = P~A)
5	4	breq1d 2619	. . . 4 |- (x = A -> (P~x ~~ P~B <-> P~A ~~ P~B))
6	3, 5	imbi12d 624	. . 3 |- (x = A -> ((x ~~ B -> P~x ~~ P~B) <-> (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)))
7		2on 4123	. . . . . 6 |- 2o e. On
8		enrefg 4371	. . . . . 6 |- (2o e. On -> 2o ~~ 2o)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- 2o ~~ 2o
10	7	elisseti 1809	. . . . . 6 |- 2o e. V
11		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
12		pwen.1	. . . . . 6 |- B e. V
13	10, 10, 11, 12	mapen 4471	. . . . 5 |- ((2o ~~ 2o /\ x ~~ B) -> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
14	9, 13	mpan 693	. . . 4 |- (x ~~ B -> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
15		oprex 3968	. . . . . 6 |- (2o ^m x) e. V
16	11	pw2en 4426	. . . . . 6 |- P~x ~~ (2o ^m x)
17		enen1 4457	. . . . . 6 |- (((2o ^m x) e. V /\ P~x ~~ (2o ^m x)) -> (P~x ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ P~B))
18	15, 16, 17	mp2an 695	. . . . 5 |- (P~x ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ P~B)
19		oprex 3968	. . . . . 6 |- (2o ^m B) e. V
20	12	pw2en 4426	. . . . . 6 |- P~B ~~ (2o ^m B)
21		enen2 4458	. . . . . 6 |- (((2o ^m B) e. V /\ P~B ~~ (2o ^m B)) -> ((2o ^m x) ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B)))
22	19, 20, 21	mp2an 695	. . . . 5 |- ((2o ^m x) ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
23	18, 22	bitr2 174	. . . 4 |- ((2o ^m x) ~~ (2o ^m B) <-> P~x ~~ P~B)
24	14, 23	sylib 198	. . 3 |- (x ~~ B -> P~x ~~ P~B)
25	6, 24	vtoclg 1838	. 2 |- (A e. V -> (A ~~ B -> P~A ~~ P~B))
26	2, 25	mpcom 49	1 |- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  P~cpw 2391   class class class wbr 2609  Oncon0 2938  (class class class)co 3948  2oc2o 4113   ^m cm 4306   ~~ cen 4348

This theorem is referenced by:  pwfi 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-2o 4118  df-er 4245  df-map 4308  df-en 4351

Copyright terms: Public domain