MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Unicode version

Theorem pwfi 7105
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )

Proof of Theorem pwfi
StepHypRef Expression
1 isfi 6839 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
2 pweq 3588 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ~P m  =  ~P (/) )
32eleq1d 2322 . . . . . 6  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P (/)  e.  Fin ) )
4 pweq 3588 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ~P m  =  ~P k
)
54eleq1d 2322 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P k  e.  Fin )
)
6 pweq 3588 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P suc  k )
7 df-suc 4356 . . . . . . . . 9  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
87pweqi 3589 . . . . . . . 8  |-  ~P suc  k  =  ~P (
k  u.  { k } )
96, 8syl6eq 2304 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P ( k  u.  {
k } ) )
109eleq1d 2322 . . . . . 6  |-  ( m  =  suc  k  -> 
( ~P m  e. 
Fin 
<->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
11 pw0 3722 . . . . . . . 8  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
12 df1o2 6445 . . . . . . . 8  |-  1o  =  { (/) }
1311, 12eqtr4i 2279 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  1o
14 1onn 6591 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
15 ssid 3158 . . . . . . . 8  |-  1o  C_  1o
16 ssnnfi 7036 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 656 . . . . . . 7  |-  1o  e.  Fin
1813, 17eqeltri 2326 . . . . . 6  |-  ~P (/)  e.  Fin
19 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u.  { k } ) )  =  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u. 
{ k } ) )
2019pwfilem 7104 . . . . . . 7  |-  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u.  {
k } )  e. 
Fin )
2120a1i 12 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
223, 5, 10, 18, 21finds1 4643 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  e.  Fin )
23 pwen 6988 . . . . 5  |-  ( A 
~~  m  ->  ~P A  ~~  ~P m )
24 enfii 7034 . . . . 5  |-  ( ( ~P m  e.  Fin  /\ 
~P A  ~~  ~P m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2522, 23, 24syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2625rexlimiva 2635 . . 3  |-  ( E. m  e.  om  A  ~~  m  ->  ~P A  e.  Fin )
271, 26sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
28 elex 2765 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  _V )
29 pwexb 4522 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
3028, 29sylibr 205 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
31 canth2g 6969 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
32 sdomdom 6843 . . . 4  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3330, 31, 323syl 20 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  ~<_  ~P A )
34 domfi 7038 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  A  e.  Fin )
3533, 34mpdan 652 . 2  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
3627, 35impbii 182 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    u. cun 3111    C_ wss 3113   (/)c0 3416   ~Pcpw 3585   {csn 3600   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   suc csuc 4352   omcom 4614   1oc1o 6426    ~~ cen 6814    ~<_ cdom 6815    ~< csdm 6816   Fincfn 6817
This theorem is referenced by:  mapfi  7106  r1fin  7399  dfac12k  7727  pwsdompw  7784  ackbij1lem5  7804  ackbij1lem9  7808  ackbij1lem10  7809  ackbij1lem14  7813  ackbij1b  7819  isfin1-2  7965  isfin1-3  7966  domtriomlem  8022  dominf  8025  dominfac  8149  gchhar  8247  omina  8267  gchina  8275  hashpw  11339  hashbclem  11341  qshash  12236  ackbijnn  12237  hashbccl  12998  lagsubg2  14626  lagsubg  14627  orbsta2  14716  sylow1lem3  14859  sylow1lem5  14861  sylow2alem2  14877  sylow2a  14878  sylow2blem2  14880  sylow2blem3  14881  sylow3lem3  14888  sylow3lem4  14889  sylow3lem6  14891  pgpfac1lem5  15262  discmp  17073  cmpfi  17083  dis1stc  17173  1stckgenlem  17196  ptcmpfi  17452  fiufl  17559  musum  20379  ballotth  23043  erdszelem2  23081  unfinsef  24421  kelac2lem  26515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821
  Copyright terms: Public domain W3C validator