MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Unicode version

Theorem pwfi 7084
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )

Proof of Theorem pwfi
StepHypRef Expression
1 isfi 6818 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
2 pweq 3569 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ~P m  =  ~P (/) )
32eleq1d 2322 . . . . . 6  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P (/)  e.  Fin ) )
4 pweq 3569 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ~P m  =  ~P k
)
54eleq1d 2322 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P k  e.  Fin )
)
6 pweq 3569 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P suc  k )
7 df-suc 4335 . . . . . . . . 9  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
87pweqi 3570 . . . . . . . 8  |-  ~P suc  k  =  ~P (
k  u.  { k } )
96, 8syl6eq 2304 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P ( k  u.  {
k } ) )
109eleq1d 2322 . . . . . 6  |-  ( m  =  suc  k  -> 
( ~P m  e. 
Fin 
<->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
11 pw0 3703 . . . . . . . 8  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
12 df1o2 6424 . . . . . . . 8  |-  1o  =  { (/) }
1311, 12eqtr4i 2279 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  1o
14 1onn 6570 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
15 ssid 3139 . . . . . . . 8  |-  1o  C_  1o
16 ssnnfi 7015 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 656 . . . . . . 7  |-  1o  e.  Fin
1813, 17eqeltri 2326 . . . . . 6  |-  ~P (/)  e.  Fin
19 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u.  { k } ) )  =  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u. 
{ k } ) )
2019pwfilem 7083 . . . . . . 7  |-  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u.  {
k } )  e. 
Fin )
2120a1i 12 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
223, 5, 10, 18, 21finds1 4622 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  e.  Fin )
23 pwen 6967 . . . . 5  |-  ( A 
~~  m  ->  ~P A  ~~  ~P m )
24 enfii 7013 . . . . 5  |-  ( ( ~P m  e.  Fin  /\ 
~P A  ~~  ~P m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2522, 23, 24syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2625rexlimiva 2633 . . 3  |-  ( E. m  e.  om  A  ~~  m  ->  ~P A  e.  Fin )
271, 26sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
28 elex 2748 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  _V )
29 pwexb 4501 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
3028, 29sylibr 205 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
31 canth2g 6948 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
32 sdomdom 6822 . . . 4  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3330, 31, 323syl 20 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  ~<_  ~P A )
34 domfi 7017 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  A  e.  Fin )
3533, 34mpdan 652 . 2  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
3627, 35impbii 182 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    u. cun 3092    C_ wss 3094   (/)c0 3397   ~Pcpw 3566   {csn 3581   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   suc csuc 4331   omcom 4593   1oc1o 6405    ~~ cen 6793    ~<_ cdom 6794    ~< csdm 6795   Fincfn 6796
This theorem is referenced by:  mapfi  7085  r1fin  7378  dfac12k  7706  pwsdompw  7763  ackbij1lem5  7783  ackbij1lem9  7787  ackbij1lem10  7788  ackbij1lem14  7792  ackbij1b  7798  isfin1-2  7944  isfin1-3  7945  domtriomlem  8001  dominf  8004  dominfac  8128  gchhar  8226  omina  8246  gchina  8254  hashpw  11318  hashbclem  11320  qshash  12215  ackbijnn  12216  hashbccl  12977  lagsubg2  14605  lagsubg  14606  orbsta2  14695  sylow1lem3  14838  sylow1lem5  14840  sylow2alem2  14856  sylow2a  14857  sylow2blem2  14859  sylow2blem3  14860  sylow3lem3  14867  sylow3lem4  14868  sylow3lem6  14870  pgpfac1lem5  15241  discmp  17052  cmpfi  17062  dis1stc  17152  1stckgenlem  17175  ptcmpfi  17431  fiufl  17538  musum  20358  ballotth  23022  erdszelem2  23060  unfinsef  24400  kelac2lem  26494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator