MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Unicode version

Theorem pwfi 7147
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Dummy variables  m  k  c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem pwfi
StepHypRef Expression
1 isfi 6881 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
2 pweq 3630 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ~P m  =  ~P (/) )
32eleq1d 2351 . . . . . 6  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P (/)  e.  Fin ) )
4 pweq 3630 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ~P m  =  ~P k
)
54eleq1d 2351 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P k  e.  Fin )
)
6 pweq 3630 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P suc  k )
7 df-suc 4398 . . . . . . . . 9  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
87pweqi 3631 . . . . . . . 8  |-  ~P suc  k  =  ~P (
k  u.  { k } )
96, 8syl6eq 2333 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P ( k  u.  {
k } ) )
109eleq1d 2351 . . . . . 6  |-  ( m  =  suc  k  -> 
( ~P m  e. 
Fin 
<->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
11 pw0 3764 . . . . . . . 8  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
12 df1o2 6487 . . . . . . . 8  |-  1o  =  { (/) }
1311, 12eqtr4i 2308 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  1o
14 1onn 6633 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
15 ssid 3199 . . . . . . . 8  |-  1o  C_  1o
16 ssnnfi 7078 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 655 . . . . . . 7  |-  1o  e.  Fin
1813, 17eqeltri 2355 . . . . . 6  |-  ~P (/)  e.  Fin
19 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u.  { k } ) )  =  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u. 
{ k } ) )
2019pwfilem 7146 . . . . . . 7  |-  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u.  {
k } )  e. 
Fin )
2120a1i 12 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
223, 5, 10, 18, 21finds1 4685 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  e.  Fin )
23 pwen 7030 . . . . 5  |-  ( A 
~~  m  ->  ~P A  ~~  ~P m )
24 enfii 7076 . . . . 5  |-  ( ( ~P m  e.  Fin  /\ 
~P A  ~~  ~P m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2522, 23, 24syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2625rexlimiva 2664 . . 3  |-  ( E. m  e.  om  A  ~~  m  ->  ~P A  e.  Fin )
271, 26sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
28 elex 2798 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  _V )
29 pwexb 4564 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
3028, 29sylibr 205 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
31 canth2g 7011 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
32 sdomdom 6885 . . . 4  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3330, 31, 323syl 20 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  ~<_  ~P A )
34 domfi 7080 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  A  e.  Fin )
3533, 34mpdan 651 . 2  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
3627, 35impbii 182 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    u. cun 3152    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   {csn 3642   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   suc csuc 4394   omcom 4656   1oc1o 6468    ~~ cen 6856    ~<_ cdom 6857    ~< csdm 6858   Fincfn 6859
This theorem is referenced by:  mapfi  7148  r1fin  7441  dfac12k  7769  pwsdompw  7826  ackbij1lem5  7846  ackbij1lem9  7850  ackbij1lem10  7851  ackbij1lem14  7855  ackbij1b  7861  isfin1-2  8007  isfin1-3  8008  domtriomlem  8064  dominf  8067  dominfac  8191  gchhar  8289  omina  8309  gchina  8317  hashpw  11383  hashbclem  11385  qshash  12280  ackbijnn  12281  incexclem  12290  incexc  12291  incexc2  12292  hashbccl  13045  lagsubg2  14673  lagsubg  14674  orbsta2  14763  sylow1lem3  14906  sylow1lem5  14908  sylow2alem2  14924  sylow2a  14925  sylow2blem2  14927  sylow2blem3  14928  sylow3lem3  14935  sylow3lem4  14936  sylow3lem6  14938  pgpfac1lem5  15309  discmp  17120  cmpfi  17130  dis1stc  17220  1stckgenlem  17243  ptcmpfi  17499  fiufl  17606  musum  20426  ballotth  23090  erdszelem2  23128  unfinsef  24468  kelac2lem  26562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863
  Copyright terms: Public domain W3C validator