Theorem pwfi 4714

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105.

Assertion

Ref	Expression
pwfi	|- (A e. Fin <-> P~A e. Fin)

Proof of Theorem pwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 4523	. . 3 |- (A e. Fin <-> E.m e. om A ~~ m)
2		visset 1859	. . . . . . 7 |- m e. V
3	2	pwen 4650	. . . . . 6 |- (A ~~ m -> P~A ~~ P~m)
4	2	pwex 2823	. . . . . . 7 |- P~m e. V
5		enfi 4680	. . . . . . 7 |- ((P~m e. V /\ P~A ~~ P~m) -> (P~A e. Fin <-> P~m e. Fin))
6	4, 5	mpan 699	. . . . . 6 |- (P~A ~~ P~m -> (P~A e. Fin <-> P~m e. Fin))
7	3, 6	syl 10	. . . . 5 |- (A ~~ m -> (P~A e. Fin <-> P~m e. Fin))
8		pweq 2460	. . . . . . 7 |- (m = (/) -> P~m = P~(/))
9	8	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (m = (/) -> (P~m e. Fin <-> P~(/) e. Fin))
10		pweq 2460	. . . . . . 7 |- (m = k -> P~m = P~k)
11	10	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (m = k -> (P~m e. Fin <-> P~k e. Fin))
12		pweq 2460	. . . . . . . 8 |- (m = suc k -> P~m = P~suc k)
13		df-suc 2981	. . . . . . . . 9 |- suc k = (k u. {k})
14		pweq 2460	. . . . . . . . 9 |- (suc k = (k u. {k}) -> P~suc k = P~(k u. {k}))
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- P~suc k = P~(k u. {k})
16	12, 15	syl6eq 1566	. . . . . . 7 |- (m = suc k -> P~m = P~(k u. {k}))
17	16	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (m = suc k -> (P~m e. Fin <-> P~(k u. {k}) e. Fin))
18		pw0 2532	. . . . . . . 8 |- P~(/) = {(/)}
19		df1o2 4276	. . . . . . . 8 |- 1o = {(/)}
20	18, 19	eqtr4i 1541	. . . . . . 7 |- P~(/) = 1o
21		1onn 4393	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
22		ssid 2132	. . . . . . . 8 |- 1o (_ 1o
23		ssnnfi 4682	. . . . . . . 8 |- ((1o e. om /\ 1o (_ 1o) -> 1o e. Fin)
24	21, 22, 23	mp2an 701	. . . . . . 7 |- 1o e. Fin
25	20, 24	eqeltri 1587	. . . . . 6 |- P~(/) e. Fin
26		eqid 1518	. . . . . . . 8 |- {<.c, y>. | (c e. P~k /\ y = (c u. {k}))} = {<.c, y>. | (c e. P~k /\ y = (c u. {k}))}
27	26	pwfilem 4713	. . . . . . 7 |- (P~k e. Fin -> P~(k u. {k}) e. Fin)
28	27	a1i 8	. . . . . 6 |- (k e. om -> (P~k e. Fin -> P~(k u. {k}) e. Fin))
29	9, 11, 17, 25, 28	finds1 3247	. . . . 5 |- (m e. om -> P~m e. Fin)
30	7, 29	syl5cbir 209	. . . 4 |- (m e. om -> (A ~~ m -> P~A e. Fin))
31	30	r19.23aiv 1789	. . 3 |- (E.m e. om A ~~ m -> P~A e. Fin)
32	1, 31	sylbi 197	. 2 |- (A e. Fin -> P~A e. Fin)
33		elisset 1863	. . . . 5 |- (P~A e. Fin -> P~A e. V)
34		pwexb 3131	. . . . 5 |- (A e. V <-> P~A e. V)
35	33, 34	sylibr 198	. . . 4 |- (P~A e. Fin -> A e. V)
36		canth2g 4630	. . . 4 |- (A e. V -> A ~< P~A)
37		sdomdom 4527	. . . 4 |- (A ~< P~A -> A ~<_ P~A)
38	35, 36, 37	3syl 20	. . 3 |- (P~A e. Fin -> A ~<_ P~A)
39		domfi 4684	. . 3 |- ((P~A e. Fin /\ A ~<_ P~A) -> A e. Fin)
40	38, 39	mpdan 708	. 2 |- (P~A e. Fin -> A e. Fin)
41	32, 40	impbii 155	1 |- (A e. Fin <-> P~A e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wrex 1692  Vcvv 1857   u. cun 2097   (_ wss 2099  (/)c0 2332  P~cpw 2458  {csn 2467   class class class wbr 2692  {copab 2740  suc csuc 2977  omcom 3218  1oc1o 4264   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507  Fincfn 4508

This theorem is referenced by:  dominf 5054  unfinsef 10775  heiborlem18 12028  rrntotbnd 12078

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-2o 4270  df-oadd 4271  df-er 4401  df-map 4465  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512

Copyright terms: Public domain