MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Unicode version

Theorem pwfi 7167
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )

Proof of Theorem pwfi
Dummy variables  m  k  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6901 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
2 pweq 3641 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ~P m  =  ~P (/) )
32eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P (/)  e.  Fin ) )
4 pweq 3641 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ~P m  =  ~P k
)
54eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P k  e.  Fin )
)
6 pweq 3641 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P suc  k )
7 df-suc 4414 . . . . . . . . 9  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
87pweqi 3642 . . . . . . . 8  |-  ~P suc  k  =  ~P (
k  u.  { k } )
96, 8syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P ( k  u.  {
k } ) )
109eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( m  =  suc  k  -> 
( ~P m  e. 
Fin 
<->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
11 pw0 3778 . . . . . . . 8  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
12 df1o2 6507 . . . . . . . 8  |-  1o  =  { (/) }
1311, 12eqtr4i 2319 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  1o
14 1onn 6653 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
15 ssid 3210 . . . . . . . 8  |-  1o  C_  1o
16 ssnnfi 7098 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 653 . . . . . . 7  |-  1o  e.  Fin
1813, 17eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  ~P (/)  e.  Fin
19 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u.  { k } ) )  =  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u. 
{ k } ) )
2019pwfilem 7166 . . . . . . 7  |-  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u.  {
k } )  e. 
Fin )
2120a1i 10 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
223, 5, 10, 18, 21finds1 4701 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  e.  Fin )
23 pwen 7050 . . . . 5  |-  ( A 
~~  m  ->  ~P A  ~~  ~P m )
24 enfii 7096 . . . . 5  |-  ( ( ~P m  e.  Fin  /\ 
~P A  ~~  ~P m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2522, 23, 24syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2625rexlimiva 2675 . . 3  |-  ( E. m  e.  om  A  ~~  m  ->  ~P A  e.  Fin )
271, 26sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
28 elex 2809 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  _V )
29 pwexb 4580 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
3028, 29sylibr 203 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
31 canth2g 7031 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
32 sdomdom 6905 . . . 4  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3330, 31, 323syl 18 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  ~<_  ~P A )
34 domfi 7100 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  A  e.  Fin )
3533, 34mpdan 649 . 2  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
3627, 35impbii 180 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672   1oc1o 6488    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  mapfi  7168  r1fin  7461  dfac12k  7789  pwsdompw  7846  ackbij1lem5  7866  ackbij1lem9  7870  ackbij1lem10  7871  ackbij1lem14  7875  ackbij1b  7881  isfin1-2  8027  isfin1-3  8028  domtriomlem  8084  dominf  8087  dominfac  8211  gchhar  8309  omina  8329  gchina  8337  hashpw  11404  hashbclem  11406  qshash  12301  ackbijnn  12302  incexclem  12311  incexc  12312  incexc2  12313  hashbccl  13066  lagsubg2  14694  lagsubg  14695  orbsta2  14784  sylow1lem3  14927  sylow1lem5  14929  sylow2alem2  14945  sylow2a  14946  sylow2blem2  14948  sylow2blem3  14949  sylow3lem3  14956  sylow3lem4  14957  sylow3lem6  14959  pgpfac1lem5  15330  discmp  17141  cmpfi  17151  dis1stc  17241  1stckgenlem  17264  ptcmpfi  17520  fiufl  17627  musum  20447  ballotth  23112  hasheuni  23468  coinfliplem  23694  erdszelem2  23738  unfinsef  25172  kelac2lem  27265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator