Theorem pwfilem 4553

Description: Lemma for pwfi 4554.

Hypothesis

Ref	Expression
pwfilem.1	|- F = {<.c, y>. | (c e. P~b /\ y = (c u. {x}))}

Assertion

Ref	Expression
pwfilem	|- (E.n e. om P~b ~~ n -> E.n e. om P~(b u. {x}) ~~ n)

Distinct variable groups:   n,F   n,c,y,b   x,c,n,y

Proof of Theorem pwfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1810	. . . . . . . . 9 |- c e. V
2		snex 2746	. . . . . . . . 9 |- {x} e. V
3	1, 2	unex 2868	. . . . . . . 8 |- (c u. {x}) e. V
4		pwfilem.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.c, y>. | (c e. P~b /\ y = (c u. {x}))}
5	3, 4	fnopab2 3614	. . . . . . 7 |- F Fn P~b
6		fnforn 3672	. . . . . . 7 |- (F Fn P~b <-> F:P~b-onto->ran F)
7	5, 6	mpbi 189	. . . . . 6 |- F:P~b-onto->ran F
8		fodomfi 4549	. . . . . 6 |- ((E.n e. om P~b ~~ n /\ F:P~b-onto->ran F) -> ran F ~<_ P~b)
9	7, 8	mpan2 695	. . . . 5 |- (E.n e. om P~b ~~ n -> ran F ~<_ P~b)
10		domfi 4525	. . . . 5 |- ((E.n e. om P~b ~~ n /\ ran F ~<_ P~b) -> E.n e. om ran F ~~ n)
11	9, 10	mpdan 703	. . . 4 |- (E.n e. om P~b ~~ n -> E.n e. om ran F ~~ n)
12		visset 1810	. . . . . . . . 9 |- b e. V
13	12, 2	unex 2868	. . . . . . . 8 |- (b u. {x}) e. V
14	13	pwex 2741	. . . . . . 7 |- P~(b u. {x}) e. V
15		difexg 2718	. . . . . . 7 |- (P~(b u. {x}) e. V -> (P~(b u. {x}) \ P~b) e. V)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (P~(b u. {x}) \ P~b) e. V
17		uneq1 2174	. . . . . . . . . . 11 |- (c = (d \ {x}) -> (c u. {x}) = ((d \ {x}) u. {x}))
18	17	eqeq2d 1484	. . . . . . . . . 10 |- (c = (d \ {x}) -> (d = (c u. {x}) <-> d = ((d \ {x}) u. {x})))
19	18	rcla4ev 1874	. . . . . . . . 9 |- (((d \ {x}) e. P~b /\ d = ((d \ {x}) u. {x})) -> E.c e. P~ bd = (c u. {x}))
20		eldifi 2159	. . . . . . . . . 10 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> d e. P~(b u. {x}))
21	2	elpwun 2907	. . . . . . . . . 10 |- (d e. P~(b u. {x}) <-> (d \ {x}) e. P~b)
22	20, 21	sylib 198	. . . . . . . . 9 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> (d \ {x}) e. P~b)
23		elpwunsn 2908	. . . . . . . . . . . 12 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> x e. d)
24		snssi 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. d -> {x} (_ d)
25	23, 24	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> {x} (_ d)
26		ssequn2 2200	. . . . . . . . . . 11 |- ({x} (_ d <-> (d u. {x}) = d)
27	25, 26	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> (d u. {x}) = d)
28		undif1 2337	. . . . . . . . . 10 |- ((d \ {x}) u. {x}) = (d u. {x})
29	27, 28	syl5req 1518	. . . . . . . . 9 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> d = ((d \ {x}) u. {x}))
30	19, 22, 29	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> E.c e. P~ bd = (c u. {x}))
31	3, 4	elrnopab 3796	. . . . . . . 8 |- (d e. ran F <-> E.c e. P~ bd = (c u. {x}))
32	30, 31	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (d e. (P~(b u. {x}) \ P~b) -> d e. ran F)
33	32	ssriv 2066	. . . . . 6 |- (P~(b u. {x}) \ P~b) (_ ran F
34		ssdomg 4398	. . . . . 6 |- ((P~(b u. {x}) \ P~b) e. V -> ((P~(b u. {x}) \ P~b) (_ ran F -> (P~(b u. {x}) \ P~b) ~<_ ran F))
35	16, 33, 34	mp2 43	. . . . 5 |- (P~(b u. {x}) \ P~b) ~<_ ran F
36		domfi 4525	. . . . 5 |- ((E.n e. om ran F ~~ n /\ (P~(b u. {x}) \ P~b) ~<_ ran F) -> E.n e. om (P~(b u. {x}) \ P~b) ~~ n)
37	35, 36	mpan2 695	. . . 4 |- (E.n e. om ran F ~~ n -> E.n e. om (P~(b u. {x}) \ P~b) ~~ n)
38	11, 37	syl 10	. . 3 |- (E.n e. om P~b ~~ n -> E.n e. om (P~(b u. {x}) \ P~b) ~~ n)
39		unfi 4537	. . 3 |- ((E.n e. om (P~(b u. {x}) \ P~b) ~~ n /\ E.n e. om P~b ~~ n) -> E.n e. om ((P~(b u. {x}) \ P~b) u. P~b) ~~ n)
40	38, 39	mpancom 704	. 2 |- (E.n e. om P~b ~~ n -> E.n e. om ((P~(b u. {x}) \ P~b) u. P~b) ~~ n)
41		pwundif 2824	. . . 4 |- P~(b u. {x}) = ((P~(b u. {x}) \ P~b) u. P~b)
42	41	breq1i 2622	. . 3 |- (P~(b u. {x}) ~~ n <-> ((P~(b u. {x}) \ P~b) u. P~b) ~~ n)
43	42	rexbii 1666	. 2 |- (E.n e. om P~(b u. {x}) ~~ n <-> E.n e. om ((P~(b u. {x}) \ P~b) u. P~b) ~~ n)
44	40, 43	sylibr 200	1 |- (E.n e. om P~b ~~ n -> E.n e. om P~(b u. {x}) ~~ n)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wrex 1644  Vcvv 1808   \ cdif 2041   u. cun 2042   (_ wss 2044  P~cpw 2398  {csn 2406   class class class wbr 2615  {copab 2662  omcom 3127  ran crn 3167   Fn wfn 3173  -onto->wfo 3176   ~~ cen 4357   ~<_ cdom 4358

This theorem is referenced by:  pwfi 4554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-er 4254  df-en 4360  df-dom 4361

Copyright terms: Public domain