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Theorem pwfseq 8254
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into the set of finite sequences. The proof is due to Halbeisen and Shelah. Proposition 1.7 of [KanamoriPincus] p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwfseq  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem pwfseq
StepHypRef Expression
1 reldom 6837 . . 3  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 4718 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
3 domeng 6844 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  A  <->  E. t ( om 
~~  t  /\  t  C_  A ) ) )
4 bren 6839 . . . . . 6  |-  ( om 
~~  t  <->  E. h  h : om -1-1-onto-> t )
5 harcl 7243 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  ~P A )  e.  On
6 infxpenc2 7617 . . . . . . . . . 10  |-  ( (har
`  ~P A )  e.  On  ->  E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
75, 6ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
8 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
9 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  k
) )
109cbviunv 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k )
11 f1eq3 5372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  = 
U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
)  ->  ( g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  <->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) ) )
1210, 11ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  <->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) )
138, 12sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) )
14 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  t  C_  A
)
15 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  h : om -1-1-onto-> t
)
16 biid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  C_  A  /\  r  C_  ( u  X.  u )  /\  r  We  u )  /\  om  ~<_  u )  <->  ( (
u  C_  A  /\  r  C_  ( u  X.  u )  /\  r  We  u )  /\  om  ~<_  u ) )
17 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  A. b  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
18 sseq2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  w  ->  ( om  C_  b  <->  om  C_  w
) )
19 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  w  ->  (
m `  b )  =  ( m `  w ) )
20 f1oeq1 5401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m `  b )  =  ( m `  w )  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
22 xpeq12 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  =  w  /\  b  =  w )  ->  ( b  X.  b
)  =  ( w  X.  w ) )
2322anidms 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  w  ->  (
b  X.  b )  =  ( w  X.  w ) )
24 f1oeq2 5402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  X.  b )  =  ( w  X.  w )  ->  (
( m `  w
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  w
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b ) )
26 f1oeq3 5403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
2721, 25, 263bitrd 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
2818, 27imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  w  ->  (
( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <-> 
( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) ) )
2928cbvralv 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b )  <->  A. w  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
3017, 29sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  A. w  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
31 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- OrdIso ( r ,  u )  = OrdIso
( r ,  u
)
32 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u ) `  z
) >. )  =  ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
)
33 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (OrdIso ( r ,  u
)  o.  ( m `
 dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u ) `  z
) >. ) )  =  ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )
34 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } )  = seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } )
35 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
u  ^m  n )  =  ( u  ^m  k ) )
3635cbviunv 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  (
u  ^m  k )
37 mpteq1 4074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ n  e.  om  (
u  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  ->  ( y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )  =  ( y  e. 
U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)
3836, 37ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U_ n  e. 
om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )  =  ( y  e. 
U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
39 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  om ,  y  e.  u  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  x ) ,  y >. )  =  ( x  e. 
om ,  y  e.  u  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  x ) ,  y
>. )
40 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )  o.  (
x  e.  om , 
y  e.  u  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  x
) ,  y >.
) )  o.  (
y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)  =  ( ( ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )  o.  (
x  e.  om , 
y  e.  u  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  x
) ,  y >.
) )  o.  (
y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)
4113, 14, 15, 16, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 40pwfseqlem5 8253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4241imnani 414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4342nexdv 2061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  E. g 
g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
44 brdomi 6841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ->  E. g 
g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4543, 44nsyl 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4645ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  ( A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) ) )
4746exlimdv 1933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  ( E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
487, 47mpi 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
4948ex 425 . . . . . . 7  |-  ( h : om -1-1-onto-> t  ->  ( t 
C_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) ) )
5049exlimiv 2024 . . . . . 6  |-  ( E. h  h : om -1-1-onto-> t  ->  ( t  C_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
514, 50sylbi 189 . . . . 5  |-  ( om 
~~  t  ->  (
t  C_  A  ->  -. 
~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
5251imp 420 . . . 4  |-  ( ( om  ~~  t  /\  t  C_  A )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5352exlimiv 2024 . . 3  |-  ( E. t ( om  ~~  t  /\  t  C_  A
)  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
543, 53syl6bi 221 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
552, 54mpcom 34 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   (/)c0 3430   ~Pcpw 3599   {csn 3614   <.cop 3617   U_ciun 3879   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    We wwe 4323   Oncon0 4364   suc csuc 4366   omcom 4628    X. cxp 4659   `'ccnv 4660   dom cdm 4661    |` cres 4663    o. ccom 4665   -1-1->wf1 4670   -1-1-onto->wf1o 4672   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    e. cmpt2 5794  seq𝜔cseqom 6427    ^m cmap 6740    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829  OrdIsocoi 7192  harchar 7238
This theorem is referenced by:  pwxpndom2  8255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-seqom 6428  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-oexp 6453  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-oi 7193  df-har 7240  df-cnf 7331  df-card 7540
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