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Theorem pwfseq 8282
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into the set of finite sequences. The proof is due to Halbeisen and Shelah. Proposition 1.7 of [KanamoriPincus] p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwfseq  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
Distinct variable group:    A, n
Dummy variables  f 
b  g  h  k  m  p  r  s  t  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem pwfseq
StepHypRef Expression
1 reldom 6865 . . 3  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 4730 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
3 domeng 6872 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  A  <->  E. t ( om 
~~  t  /\  t  C_  A ) ) )
4 bren 6867 . . . . . 6  |-  ( om 
~~  t  <->  E. h  h : om -1-1-onto-> t )
5 harcl 7271 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  ~P A )  e.  On
6 infxpenc2 7645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (har
`  ~P A )  e.  On  ->  E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
75, 6ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
8 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
9 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  k
) )
109cbviunv 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k )
11 f1eq3 5400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  = 
U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
)  ->  ( g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  <->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) ) )
1210, 11ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  <->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) )
138, 12sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) )
14 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  t  C_  A
)
15 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  h : om -1-1-onto-> t
)
16 biid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  C_  A  /\  r  C_  ( u  X.  u )  /\  r  We  u )  /\  om  ~<_  u )  <->  ( (
u  C_  A  /\  r  C_  ( u  X.  u )  /\  r  We  u )  /\  om  ~<_  u ) )
17 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  A. b  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
18 sseq2 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  w  ->  ( om  C_  b  <->  om  C_  w
) )
19 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  w  ->  (
m `  b )  =  ( m `  w ) )
20 f1oeq1 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m `  b )  =  ( m `  w )  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
22 xpeq12 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  =  w  /\  b  =  w )  ->  ( b  X.  b
)  =  ( w  X.  w ) )
2322anidms 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  w  ->  (
b  X.  b )  =  ( w  X.  w ) )
24 f1oeq2 5430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  X.  b )  =  ( w  X.  w )  ->  (
( m `  w
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  w
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b ) )
26 f1oeq3 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
2721, 25, 263bitrd 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
2818, 27imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  w  ->  (
( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <-> 
( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) ) )
2928cbvralv 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b )  <->  A. w  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
3017, 29sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  A. w  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
31 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- OrdIso ( r ,  u )  = OrdIso
( r ,  u
)
32 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u ) `  z
) >. )  =  ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
)
33 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (OrdIso ( r ,  u
)  o.  ( m `
 dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u ) `  z
) >. ) )  =  ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )
34 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } )  = seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } )
35 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
u  ^m  n )  =  ( u  ^m  k ) )
3635cbviunv 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  (
u  ^m  k )
37 mpteq1 4102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ n  e.  om  (
u  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  ->  ( y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )  =  ( y  e. 
U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)
3836, 37ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U_ n  e. 
om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )  =  ( y  e. 
U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
39 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  om ,  y  e.  u  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  x ) ,  y >. )  =  ( x  e. 
om ,  y  e.  u  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  x ) ,  y
>. )
40 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )  o.  (
x  e.  om , 
y  e.  u  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  x
) ,  y >.
) )  o.  (
y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)  =  ( ( ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )  o.  (
x  e.  om , 
y  e.  u  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  x
) ,  y >.
) )  o.  (
y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)
4113, 14, 15, 16, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 40pwfseqlem5 8281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4241imnani 414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4342nexdv 1859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  E. g 
g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
44 brdomi 6869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ->  E. g 
g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4543, 44nsyl 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4645ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  ( A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) ) )
4746exlimdv 1665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  ( E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
487, 47mpi 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
4948ex 425 . . . . . . 7  |-  ( h : om -1-1-onto-> t  ->  ( t 
C_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) ) )
5049exlimiv 1667 . . . . . 6  |-  ( E. h  h : om -1-1-onto-> t  ->  ( t  C_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
514, 50sylbi 189 . . . . 5  |-  ( om 
~~  t  ->  (
t  C_  A  ->  -. 
~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
5251imp 420 . . . 4  |-  ( ( om  ~~  t  /\  t  C_  A )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5352exlimiv 1667 . . 3  |-  ( E. t ( om  ~~  t  /\  t  C_  A
)  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
543, 53syl6bi 221 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
552, 54mpcom 34 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   {csn 3642   <.cop 3645   U_ciun 3907   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    We wwe 4351   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   -1-1->wf1 5219   -1-1-onto->wf1o 5221   ` cfv 5222  (class class class)co 5820    e. cmpt2 5822  seq𝜔cseqom 6455    ^m cmap 6768    ~~ cen 6856    ~<_ cdom 6857  OrdIsocoi 7220  harchar 7266
This theorem is referenced by:  pwxpndom2  8283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-seqom 6456  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-oexp 6481  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-oi 7221  df-har 7268  df-cnf 7359  df-card 7568
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