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Theorem pwfseqlem4 8529
 Description: Lemma for pwfseq 8531. Derive a final contradiction from the function in pwfseqlem3 8527. Applying fpwwe2 8510 to it, we get a certain maximal well-ordered subset , but the defining property contradicts our assumption on , so we are reduced to the case of finite. This too is a contradiction, though, because and its preimage under are distinct sets of the same cardinality and in a subset relation, which is impossible for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g
pwfseqlem4.x
pwfseqlem4.h
pwfseqlem4.ps
pwfseqlem4.k
pwfseqlem4.d
pwfseqlem4.f
pwfseqlem4.w
pwfseqlem4.z
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem4
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,   ,   ,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,,,)   (,,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,,)   (,)   (,,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem pwfseqlem4
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
2 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
31, 2pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10
4 pwfseqlem4.w . . . . . . . . . . 11
5 pwfseqlem4.g . . . . . . . . . . . . 13
6 omex 7590 . . . . . . . . . . . . . 14
7 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7iunex 5983 . . . . . . . . . . . . 13
9 f1dmex 5963 . . . . . . . . . . . . 13
105, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
11 pwexb 4745 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
13 pwfseqlem4.x . . . . . . . . . . . 12
14 pwfseqlem4.h . . . . . . . . . . . 12
15 pwfseqlem4.ps . . . . . . . . . . . 12
16 pwfseqlem4.k . . . . . . . . . . . 12
17 pwfseqlem4.d . . . . . . . . . . . 12
18 pwfseqlem4.f . . . . . . . . . . . 12
195, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem4a 8528 . . . . . . . . . . 11
20 pwfseqlem4.z . . . . . . . . . . 11
214, 12, 19, 20fpwwe2 8510 . . . . . . . . . 10
223, 21mpbiri 225 . . . . . . . . 9
2322simprd 450 . . . . . . . 8
2422simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13
254, 12fpwwe2lem2 8499 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
2726simpld 446 . . . . . . . . . . 11
2827simpld 446 . . . . . . . . . 10
2912, 28ssexd 4342 . . . . . . . . 9
30 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . 14
31 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231, 31xpeq12d 4895 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . 14
34 weeq2 4563 . . . . . . . . . . . . . 14
3530, 33, 343anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . 13
3635anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
37 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38373expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14
4026, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4140pm4.71i 614 . . . . . . . . . . . 12
4236, 41syl6bbr 255 . . . . . . . . . . 11
43 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13
4443, 31eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . 12
45 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
4742, 46imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
48 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11
49 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . 14
50 weeq1 4562 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 503anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . 13
5251anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
53 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14
5453eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
5554imbi1d 309 . . . . . . . . . . . 12
5652, 55imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
57 omelon 7593 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 onenon 7828 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
60 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 19.8a 1762 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 ween 7908 . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14
65 domtri2 7868 . . . . . . . . . . . . . 14
6659, 64, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
67 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 nfmpt22 6133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7018, 69nfcxfr 2568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7268, 70, 71nfov 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7467, 73nfim 1832 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
76 weeq1 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7775, 763anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7877anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8279, 81imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 nfmpt21 6132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8618, 85nfcxfr 2568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8884, 86, 87nfov 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8988nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9083, 89nfim 1832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
91 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
92 xpeq12 4889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9392anidms 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9493sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95 weeq2 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9691, 94, 953anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9896, 97anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9915, 98syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103101, 102eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104100, 103imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1055, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem3 8527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10690, 104, 105chvar 1968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10774, 82, 106chvar 1968 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107eldifbd 3325 . . . . . . . . . . . . . 14
109108expr 599 . . . . . . . . . . . . 13
11066, 109sylbird 227 . . . . . . . . . . . 12
111110con4d 99 . . . . . . . . . . 11
11248, 56, 111vtocl 2998 . . . . . . . . . 10
11347, 112vtoclg 3003 . . . . . . . . 9
11429, 113mpcom 34 . . . . . . . 8
11523, 114mpd 15 . . . . . . 7
116 isfinite 7599 . . . . . . 7
117115, 116sylibr 204 . . . . . 6
1185, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem2 8526 . . . . . 6
119117, 48, 118sylancl 644 . . . . 5
120119, 23eqeltrrd 2510 . . . 4
1214, 12, 24fpwwe2lem3 8500 . . . . . . . . . 10
122120, 121mpdan 650 . . . . . . . . 9
123 cnvimass 5216 . . . . . . . . . . . 12
12427simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14
125 dmss 5061 . . . . . . . . . . . . . 14
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
127 dmxpss 5292 . . . . . . . . . . . . 13
128126, 127syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . 12
129123, 128syl5ss 3351 . . . . . . . . . . 11
130 ssfi 7321 . . . . . . . . . . 11
131117, 129, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
13248inex1 4336 . . . . . . . . . 10
1335, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem2 8526 . . . . . . . . . 10
134131, 132, 133sylancl 644 . . . . . . . . 9
135122, 134eqtr3d 2469 . . . . . . . 8
136 f1of1 5665 . . . . . . . . . 10
13714, 136syl 16 . . . . . . . . 9
138 ficardom 7840 . . . . . . . . . 10
139117, 138syl 16 . . . . . . . . 9
140 ficardom 7840 . . . . . . . . . 10
141131, 140syl 16 . . . . . . . . 9
142 f1fveq 6000 . . . . . . . . 9
143137, 139, 141, 142syl12anc 1182 . . . . . . . 8
144135, 143mpbid 202 . . . . . . 7
145144eqcomd 2440 . . . . . 6
146 finnum 7827 . . . . . . . 8
147131, 146syl 16 . . . . . . 7
148 finnum 7827 . . . . . . . 8
149117, 148syl 16 . . . . . . 7
150 carden2 7866 . . . . . . 7
151147, 149, 150syl2anc 643 . . . . . 6
152145, 151mpbid 202 . . . . 5
153 dfpss2 3424 . . . . . . . 8
154153baib 872 . . . . . . 7
155129, 154syl 16 . . . . . 6
156 php3 7285 . . . . . . . . 9
157 sdomnen 7128 . . . . . . . . 9
158156, 157syl 16 . . . . . . . 8
159158ex 424 . . . . . . 7
160117, 159syl 16 . . . . . 6
161155, 160sylbird 227 . . . . 5
162152, 161mt4d 132 . . . 4
163120, 162eleqtrrd 2512 . . 3
164 fvex 5734 . . . 4
165164eliniseg 5225 . . . 4
166164, 165ax-mp 8 . . 3
167163, 166sylib 189 . 2
16826simprd 450 . . . . 5
169168simpld 446 . . . 4
170 weso 4565 . . . 4
171169, 170syl 16 . . 3
172 sonr 4516 . . 3
173171, 120, 172syl2anc 643 . 2
174167, 173pm2.65i 167 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948  wsbc 3153   cdif 3309   cin 3311   wss 3312   wpss 3313  cif 3731  cpw 3791  csn 3806  cuni 4007  cint 4042  ciun 4085   class class class wbr 4204  copab 4257   wor 4494   wwe 4532  con0 4573  com 4837   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873  wf1 5443  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075   cmap 7010   cen 7098   cdom 7099   csdm 7100  cfn 7101  ccrd 7814 This theorem is referenced by:  pwfseqlem5  8530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818
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