Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwssplit0 Unicode version

Theorem pwssplit0 26587
Description: Splitting for structure powers, part 0: restriction is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y  |-  Y  =  ( W  ^s  U )
pwssplit1.z  |-  Z  =  ( W  ^s  V )
pwssplit1.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwssplit1.c  |-  C  =  ( Base `  Z
)
pwssplit1.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  V ) )
Assertion
Ref Expression
pwssplit0  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  F : B --> C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, W    x, U    x, Z    x, V    x, B    x, C    x, X    x, T
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem pwssplit0
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( W  ^s  U )
2 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 pwssplit1.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
41, 2, 3pwselbasb 13382 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X )  ->  ( x  e.  B  <->  x : U --> ( Base `  W ) ) )
543adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  -> 
( x  e.  B  <->  x : U --> ( Base `  W ) ) )
65biimpa 472 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  x : U
--> ( Base `  W
) )
7 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  V  C_  U
)
8 fssres 5374 . . . 4  |-  ( ( x : U --> ( Base `  W )  /\  V  C_  U )  ->  (
x  |`  V ) : V --> ( Base `  W
) )
96, 7, 8syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W )
)
10 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  W  e.  T )
11 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  V  C_  U )
12 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  U  e.  X )
13 ssexg 4162 . . . . . 6  |-  ( ( V  C_  U  /\  U  e.  X )  ->  V  e.  _V )
1411, 12, 13syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  V  e.  _V )
15 pwssplit1.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( W  ^s  V )
16 pwssplit1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  Z
)
1715, 2, 16pwselbasb 13382 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( x  |`  V )  e.  C  <->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W
) ) )
1810, 14, 17syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  -> 
( ( x  |`  V )  e.  C  <->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W
) ) )
1918adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
x  |`  V )  e.  C  <->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W )
) )
209, 19mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  |`  V )  e.  C
)
21 pwssplit1.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  V ) )
2220, 21fmptd 5646 1  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  F : B --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2790    C_ wss 3154    e. cmpt 4079    |` cres 4691   -->wf 5218   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   Basecbs 13143    ^s cpws 13342
This theorem is referenced by:  pwssplit1  26588  pwssplit2  26589  pwssplit3  26590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-fz 10778  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-hom 13227  df-cco 13228  df-prds 13343  df-pws 13345
  Copyright terms: Public domain W3C validator