Theorem pwssun 2816

Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
pwssun	|- ((A (_ B \/ B (_ A) <-> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))

Proof of Theorem pwssun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 246	. . . 4 |- ((A (_ B \/ B (_ A) <-> (B (_ A \/ A (_ B))
2		ssequn2 2193	. . . . . 6 |- (B (_ A <-> (A u. B) = A)
3		pweq 2393	. . . . . . 7 |- ((A u. B) = A -> P~(A u. B) = P~A)
4		eqimss 2099	. . . . . . 7 |- (P~(A u. B) = P~A -> P~(A u. B) (_ P~A)
5	3, 4	syl 10	. . . . . 6 |- ((A u. B) = A -> P~(A u. B) (_ P~A)
6	2, 5	sylbi 199	. . . . 5 |- (B (_ A -> P~(A u. B) (_ P~A)
7		ssequn1 2190	. . . . . 6 |- (A (_ B <-> (A u. B) = B)
8		pweq 2393	. . . . . . 7 |- ((A u. B) = B -> P~(A u. B) = P~B)
9		eqimss 2099	. . . . . . 7 |- (P~(A u. B) = P~B -> P~(A u. B) (_ P~B)
10	8, 9	syl 10	. . . . . 6 |- ((A u. B) = B -> P~(A u. B) (_ P~B)
11	7, 10	sylbi 199	. . . . 5 |- (A (_ B -> P~(A u. B) (_ P~B)
12	6, 11	orim12i 336	. . . 4 |- ((B (_ A \/ A (_ B) -> (P~(A u. B) (_ P~A \/ P~(A u. B) (_ P~B))
13	1, 12	sylbi 199	. . 3 |- ((A (_ B \/ B (_ A) -> (P~(A u. B) (_ P~A \/ P~(A u. B) (_ P~B))
14		ssun 2196	. . 3 |- ((P~(A u. B) (_ P~A \/ P~(A u. B) (_ P~B) -> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))
15	13, 14	syl 10	. 2 |- ((A (_ B \/ B (_ A) -> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))
16		ssel 2053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> ({x, y} e. P~(A u. B) -> {x, y} e. (P~A u. P~B)))
17		unss12 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (({x} (_ A /\ {y} (_ B) -> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
18		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- x e. V
19	18	snss 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x e. A <-> {x} (_ A)
20		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. V
21	20	snss 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. B <-> {y} (_ B)
22	17, 19, 21	syl2anb 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
23		zfpair2 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- {x, y} e. V
24	23	elpw 2394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ({x, y} e. P~(A u. B) <-> {x, y} (_ (A u. B))
25		df-pr 2403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- {x, y} = ({x} u. {y})
26	25	sseq1i 2075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ({x, y} (_ (A u. B) <-> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
27	24, 26	bitr2 174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (({x} u. {y}) (_ (A u. B) <-> {x, y} e. P~(A u. B))
28	22, 27	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. P~(A u. B))
29	16, 28	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. (P~A u. P~B)))
30	29	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (x e. A -> (y e. B -> {x, y} e. (P~A u. P~B))))
31	30	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (y e. B -> (x e. A -> {x, y} e. (P~A u. P~B))))
32	31	imp31 362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> {x, y} e. (P~A u. P~B))
33		elun 2163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. (P~A u. P~B) <-> ({x, y} e. P~A \/ {x, y} e. P~B))
34	32, 33	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> ({x, y} e. P~A \/ {x, y} e. P~B))
35	23	elpw 2394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ({x, y} e. P~A <-> {x, y} (_ A)
36	18, 20	prss 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. A /\ y e. A) <-> {x, y} (_ A)
37	35, 36	bitr4 176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({x, y} e. P~A <-> (x e. A /\ y e. A))
38	37	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. P~A -> y e. A)
39	23	elpw 2394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ({x, y} e. P~B <-> {x, y} (_ B)
40	18, 20	prss 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. B /\ y e. B) <-> {x, y} (_ B)
41	39, 40	bitr4 176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({x, y} e. P~B <-> (x e. B /\ y e. B))
42	41	pm3.26bi 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. P~B -> x e. B)
43	38, 42	orim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (({x, y} e. P~A \/ {x, y} e. P~B) -> (y e. A \/ x e. B))
44	34, 43	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> (y e. A \/ x e. B))
45	44	ord 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ x e. A) -> (-. y e. A -> x e. B))
46	45	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) -> (x e. A -> (-. y e. A -> x e. B)))
47	46	com23 32	. . . . . . . . . . 11 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) -> (-. y e. A -> (x e. A -> x e. B)))
48	47	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ -. y e. A) -> (x e. A -> x e. B))
49	48	ssrdv 2060	. . . . . . . . 9 |- (((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ y e. B) /\ -. y e. A) -> A (_ B)
50	49	exp31 376	. . . . . . . 8 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (y e. B -> (-. y e. A -> A (_ B)))
51		bi2.15 166	. . . . . . . 8 |- ((-. y e. A -> A (_ B) <-> (-. A (_ B -> y e. A))
52	50, 51	syl6ib 212	. . . . . . 7 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (y e. B -> (-. A (_ B -> y e. A)))
53	52	com23 32	. . . . . 6 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (-. A (_ B -> (y e. B -> y e. A)))
54	53	imp 350	. . . . 5 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ -. A (_ B) -> (y e. B -> y e. A))
55	54	ssrdv 2060	. . . 4 |- ((P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) /\ -. A (_ B) -> B (_ A)
56	55	ex 373	. . 3 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (-. A (_ B -> B (_ A))
57	56	orrd 233	. 2 |- (P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B) -> (A (_ B \/ B (_ A))
58	15, 57	impbi 157	1 |- ((A (_ B \/ B (_ A) <-> P~(A u. B) (_ (P~A u. P~B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   u. cun 2035   (_ wss 2037  P~cpw 2391  {csn 2399  {cpr 2400

This theorem is referenced by:  pwun 2818

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-v 1803  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403

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