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Theorem pwundifOLD 4301
Description: Break up the power class of a union into a union of smaller classes. Obsolete as of 20-Dec-2016. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pwundifOLD  |-  ~P ( A  u.  B )  =  ( ( ~P ( A  u.  B
)  \  ~P A
)  u.  ~P A
)

Proof of Theorem pwundifOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
21elpw 3631 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  B )  <->  x  C_  ( A  u.  B )
)
3 pm2.1 406 . . . . 5  |-  ( -.  x  C_  A  \/  x  C_  A )
4 ordir 835 . . . . 5  |-  ( ( ( x  C_  ( A  u.  B )  /\  -.  x  C_  A
)  \/  x  C_  A )  <->  ( (
x  C_  ( A  u.  B )  \/  x  C_  A )  /\  ( -.  x  C_  A  \/  x  C_  A ) ) )
53, 4mpbiran2 885 . . . 4  |-  ( ( ( x  C_  ( A  u.  B )  /\  -.  x  C_  A
)  \/  x  C_  A )  <->  ( x  C_  ( A  u.  B
)  \/  x  C_  A ) )
6 elun 3316 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( ~P ( A  u.  B
)  \  ~P A
)  u.  ~P A
)  <->  ( x  e.  ( ~P ( A  u.  B )  \  ~P A )  \/  x  e.  ~P A ) )
7 eldif 3162 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P ( A  u.  B )  \  ~P A )  <->  ( x  e.  ~P ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  ~P A
) )
81elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
98notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ~P A  <->  -.  x  C_  A )
102, 9anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  ~P A )  <->  ( x  C_  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  C_  A ) )
117, 10bitri 240 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P ( A  u.  B )  \  ~P A )  <->  ( x  C_  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  C_  A ) )
1211, 8orbi12i 507 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P ( A  u.  B
)  \  ~P A
)  \/  x  e. 
~P A )  <->  ( (
x  C_  ( A  u.  B )  /\  -.  x  C_  A )  \/  x  C_  A )
)
136, 12bitr2i 241 . . . 4  |-  ( ( ( x  C_  ( A  u.  B )  /\  -.  x  C_  A
)  \/  x  C_  A )  <->  x  e.  ( ( ~P ( A  u.  B )  \  ~P A )  u. 
~P A ) )
14 id 19 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( A  u.  B )  ->  x  C_  ( A  u.  B
) )
15 ssun3 3340 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  ->  x  C_  ( A  u.  B
) )
1614, 15jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( A  u.  B )  \/  x  C_  A )  ->  x  C_  ( A  u.  B
) )
17 orc 374 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( A  u.  B )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  \/  x  C_  A ) )
1816, 17impbii 180 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( A  u.  B )  \/  x  C_  A )  <->  x  C_  ( A  u.  B )
)
195, 13, 183bitr3ri 267 . . 3  |-  ( x 
C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( ( ~P ( A  u.  B )  \  ~P A )  u. 
~P A ) )
202, 19bitri 240 . 2  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( ( ~P ( A  u.  B )  \  ~P A )  u. 
~P A ) )
2120eqriv 2280 1  |-  ~P ( A  u.  B )  =  ( ( ~P ( A  u.  B
)  \  ~P A
)  u.  ~P A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627
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