Theorem pwuninel 4492

Description: The power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set.

Assertion

Ref	Expression
pwuninel	|- -. P~U.A e. A

Proof of Theorem pwuninel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4478	. . 3 |- -. P~U.A ~< P~U.A
2		uniexb 2913	. . . 4 |- (A e. V <-> U.A e. V)
3		ssdom2g 4415	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> (P~U.A (_ U.A -> P~U.A ~<_ U.A))
4		domsdomtr 4482	. . . . . . . 8 |- ((P~U.A ~<_ U.A /\ U.A ~< P~U.A) -> P~U.A ~< P~U.A)
5		canth2g 4491	. . . . . . . 8 |- (U.A e. V -> U.A ~< P~U.A)
6	4, 5	sylan2 453	. . . . . . 7 |- ((P~U.A ~<_ U.A /\ U.A e. V) -> P~U.A ~< P~U.A)
7	6	expcom 374	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> (P~U.A ~<_ U.A -> P~U.A ~< P~U.A))
8	3, 7	syld 27	. . . . 5 |- (U.A e. V -> (P~U.A (_ U.A -> P~U.A ~< P~U.A))
9		elssuni 2530	. . . . 5 |- (P~U.A e. A -> P~U.A (_ U.A)
10	8, 9	syl5 21	. . . 4 |- (U.A e. V -> (P~U.A e. A -> P~U.A ~< P~U.A))
11	2, 10	sylbi 199	. . 3 |- (A e. V -> (P~U.A e. A -> P~U.A ~< P~U.A))
12	1, 11	mtoi 107	. 2 |- (A e. V -> -. P~U.A e. A)
13		elisset 1820	. . . 4 |- (P~U.A e. A -> P~U.A e. V)
14		pwexb 2914	. . . . 5 |- (U.A e. V <-> P~U.A e. V)
15	2, 14	bitr 173	. . . 4 |- (A e. V <-> P~U.A e. V)
16	13, 15	sylibr 200	. . 3 |- (P~U.A e. A -> A e. V)
17	16	con3i 98	. 2 |- (-. A e. V -> -. P~U.A e. A)
18	12, 17	pm2.61i 126	1 |- -. P~U.A e. A

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2050  P~cpw 2405  U.cuni 2507   class class class wbr 2624   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372

This theorem is referenced by:  pnfnre 5508  spwnex3 8651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376

Copyright terms: Public domain