MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabsabv Unicode version

Theorem qabsabv 20726
Description: The regular absolute value function on the rationals is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
Assertion
Ref Expression
qabsabv  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A

Proof of Theorem qabsabv
StepHypRef Expression
1 absabv 16377 . 2  |-  abs  e.  (AbsVal ` fld )
2 qsubdrg 16372 . . 3  |-  ( QQ  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  QQ )  e.  DivRing )
32simpli 446 . 2  |-  QQ  e.  (SubRing ` fld )
4 eqid 2256 . . 3  |-  (AbsVal ` fld )  =  (AbsVal ` fld )
5 qrng.q . . 3  |-  Q  =  (flds  QQ )
6 qabsabv.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
74, 5, 6abvres 15552 . 2  |-  ( ( abs  e.  (AbsVal ` fld )  /\  QQ  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  ( abs  |`  QQ )  e.  A )
81, 3, 7mp2an 656 1  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621    |` cres 4649   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   QQcq 10269   abscabs 11670   ↾s cress 13097   DivRingcdr 15460  SubRingcsubrg 15489  AbsValcabv 15529  ℂfldccnfld 16325
This theorem is referenced by:  ostth2  20734  ostth  20736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-ico 10614  df-fz 10735  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-0g 13352  df-mnd 14315  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-subg 14566  df-cmn 15039  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-cring 15289  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-dvr 15413  df-drng 15462  df-subrg 15491  df-abv 15530  df-cnfld 16326
  Copyright terms: Public domain W3C validator