MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Unicode version

Theorem qabvle 20768
Description: By using induction on  N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
Assertion
Ref Expression
qabvle  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem qabvle
StepHypRef Expression
1 fveq2 5485 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
2 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  k  =  0 )
31, 2breq12d 4037 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  0 )  <_ 
0 ) )
43imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  0  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  0
)  <_  0 ) ) )
5 fveq2 5485 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
6 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
75, 6breq12d 4037 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  n )  <_  n
) )
87imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  n
)  <_  n )
) )
9 fveq2 5485 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
10 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  k  =  ( n  + 
1 ) )
119, 10breq12d 4037 . . . 4  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
n  +  1 ) ) )
1211imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5485 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
14 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  k  =  N )
1513, 14breq12d 4037 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  N )  <_  N
) )
1615imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  N
)  <_  N )
) )
17 qabsabv.a . . . . 5  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
18 qrng.q . . . . . 6  |-  Q  =  (flds  QQ )
1918qrng0 20764 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g `  Q )
2017, 19abv0 15590 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
21 0le0 9822 . . . 4  |-  0  <_  0
2220, 21syl6eqbr 4061 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  <_  0 )
23 nn0p1nn 9998 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
2423ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
25 nnq 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  QQ )
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  QQ )
2718qrngbas 20762 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
2817, 27abvcl 15583 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  +  1
)  e.  QQ )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
2926, 28syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
30 nn0z 10041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
3130ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
32 zq 10317 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  QQ )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  QQ )
3417, 27abvcl 15583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
3533, 34syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
36 peano2re 8980 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  RR  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  e.  RR )
3735, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR )
3831zred 10112 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
39 peano2re 8980 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
4038, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
41 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  F  e.  A )
42 1z 10048 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
43 zq 10317 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  1  e.  QQ )
45 qex 10323 . . . . . . . . . . 11  |-  QQ  e.  _V
46 cnfldadd 16378 . . . . . . . . . . . 12  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4718, 46ressplusg 13244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
4845, 47ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  +  =  ( +g  `  Q )
4917, 27, 48abvtri 15589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( ( F `
 n )  +  ( F `  1
) ) )
5041, 33, 44, 49syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( F `  n
)  +  ( F `
 1 ) ) )
51 ax-1ne0 8801 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
5218qrng1 20765 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r `  Q )
5317, 52, 19abv1z 15591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  1  =/=  0 )  -> 
( F `  1
)  =  1 )
5451, 53mpan2 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  1 )  =  1 )
5554adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  1 )  =  1 )
5655oveq2d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( F ` 
1 ) )  =  ( ( F `  n )  +  1 ) )
5750, 56breqtrd 4048 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( F `  n
)  +  1 ) )
58 1re 8832 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
5958a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
60 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  n )  <_  n
)
6135, 38, 59, 60leadd1dd 9381 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( n  +  1 ) )
6229, 37, 40, 57, 61letrd 8968 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
n  +  1 ) )
6362expr 600 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  n )  <_  n  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) )
6463expcom 426 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( F  e.  A  ->  (
( F `  n
)  <_  n  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( n  + 
1 ) ) ) )
6564a2d 25 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( F  e.  A  -> 
( F `  n
)  <_  n )  ->  ( F  e.  A  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) ) )
664, 8, 12, 16, 22, 65nn0ind 10103 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( F  e.  A  ->  ( F `  N )  <_  N ) )
6766impcom 421 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    <_ cle 8863   NNcn 9741   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   QQcq 10311   ↾s cress 13143   +g cplusg 13202  AbsValcabv 15575  ℂfldccnfld 16371
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  20777  ostth2  20780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-ico 10656  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-0g 13398  df-mnd 14361  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-subg 14612  df-cmn 15085  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-cring 15335  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-drng 15508  df-subrg 15537  df-abv 15576  df-cnfld 16372
  Copyright terms: Public domain W3C validator