MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Unicode version

Theorem qabvle 20722
Description: By using induction on  N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
Assertion
Ref Expression
qabvle  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )

Proof of Theorem qabvle
StepHypRef Expression
1 fveq2 5444 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
2 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  k  =  0 )
31, 2breq12d 3996 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  0 )  <_ 
0 ) )
43imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  0  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  0
)  <_  0 ) ) )
5 fveq2 5444 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
6 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
75, 6breq12d 3996 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  n )  <_  n
) )
87imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  n
)  <_  n )
) )
9 fveq2 5444 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
10 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  k  =  ( n  + 
1 ) )
119, 10breq12d 3996 . . . 4  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
n  +  1 ) ) )
1211imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5444 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
14 id 21 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  k  =  N )
1513, 14breq12d 3996 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  N )  <_  N
) )
1615imbi2d 309 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  N
)  <_  N )
) )
17 qabsabv.a . . . . 5  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
18 qrng.q . . . . . 6  |-  Q  =  (flds  QQ )
1918qrng0 20718 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g `  Q )
2017, 19abv0 15544 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
21 0le0 9781 . . . 4  |-  0  <_  0
2220, 21syl6eqbr 4020 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  <_  0 )
23 nn0p1nn 9956 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
2423ad2antrl 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
25 nnq 10282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  QQ )
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  QQ )
2718qrngbas 20716 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
2817, 27abvcl 15537 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  +  1
)  e.  QQ )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
2926, 28syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
30 nn0z 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
3130ad2antrl 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
32 zq 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  QQ )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  QQ )
3417, 27abvcl 15537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
3533, 34syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
36 peano2re 8939 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  RR  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  e.  RR )
3735, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR )
3831zred 10070 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
39 peano2re 8939 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
4038, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
41 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  F  e.  A )
42 1z 10006 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
43 zq 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  1  e.  QQ )
45 qex 10281 . . . . . . . . . . 11  |-  QQ  e.  _V
46 cnfldadd 16332 . . . . . . . . . . . 12  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4718, 46ressplusg 13198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
4845, 47ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  +  =  ( +g  `  Q )
4917, 27, 48abvtri 15543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( ( F `
 n )  +  ( F `  1
) ) )
5041, 33, 44, 49syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( F `  n
)  +  ( F `
 1 ) ) )
51 ax-1ne0 8760 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
5218qrng1 20719 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r `  Q )
5317, 52, 19abv1z 15545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  1  =/=  0 )  -> 
( F `  1
)  =  1 )
5451, 53mpan2 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  1 )  =  1 )
5554adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  1 )  =  1 )
5655oveq2d 5794 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( F ` 
1 ) )  =  ( ( F `  n )  +  1 ) )
5750, 56breqtrd 4007 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( F `  n
)  +  1 ) )
58 1re 8791 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
5958a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
60 simprr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  n )  <_  n
)
6135, 38, 59, 60leadd1dd 9340 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( n  +  1 ) )
6229, 37, 40, 57, 61letrd 8927 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
n  +  1 ) )
6362expr 601 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  n )  <_  n  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) )
6463expcom 426 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( F  e.  A  ->  (
( F `  n
)  <_  n  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( n  + 
1 ) ) ) )
6564a2d 25 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( F  e.  A  -> 
( F `  n
)  <_  n )  ->  ( F  e.  A  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) ) )
664, 8, 12, 16, 22, 65nn0ind 10061 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( F  e.  A  ->  ( F `  N )  <_  N ) )
6766impcom 421 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   _Vcvv 2757   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    <_ cle 8822   NNcn 9700   NN0cn0 9918   ZZcz 9977   QQcq 10269   ↾s cress 13097   +g cplusg 13156  AbsValcabv 15529  ℂfldccnfld 16325
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  20731  ostth2  20734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-ico 10614  df-fz 10735  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-0g 13352  df-mnd 14315  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-subg 14566  df-cmn 15039  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-cring 15289  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-dvr 15413  df-drng 15462  df-subrg 15491  df-abv 15530  df-cnfld 16326
  Copyright terms: Public domain W3C validator