Theorem qaddclt 6270

Description: Closure of addition of rationals.

Assertion

Ref	Expression
qaddclt	|- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Proof of Theorem qaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rcla4eopr 3996	. . . . . . . . 9 |- ((((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w))) -> E.u e. ZZ E.v e. NN (A + B) = (u / v))
2		elq 6258	. . . . . . . . 9 |- ((A + B) e. QQ <-> E.u e. ZZ E.v e. NN (A + B) = (u / v))
3	1, 2	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- ((((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w))) -> (A + B) e. QQ)
4		zaddclt 6167	. . . . . . . . . 10 |- (((x x. w) e. ZZ /\ (y x. z) e. ZZ) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
5		zmulclt 6182	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ w e. ZZ) -> (x x. w) e. ZZ)
6		nnzt 6155	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. ZZ)
7	5, 6	sylan2 453	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ w e. NN) -> (x x. w) e. ZZ)
8	7	ad2ant2rl 413	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (x x. w) e. ZZ)
9		zmulclt 6182	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (y x. z) e. ZZ)
10		nnzt 6155	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. ZZ)
11	9, 10	sylan 450	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ z e. ZZ) -> (y x. z) e. ZZ)
12	11	ad2ant2lr 412	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y x. z) e. ZZ)
13	4, 8, 12	sylanc 473	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
14	13	adantr 391	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
15		nnmulclt 5943	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y x. w) e. NN)
16	15	ad2ant2l 410	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y x. w) e. NN)
17	16	adantr 391	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (y x. w) e. NN)
18		opreq12 3976	. . . . . . . . 9 |- ((A = (x / y) /\ B = (z / w)) -> (A + B) = ((x / y) + (z / w)))
19		divadddivt 5786	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)) /\ (y =/= 0 /\ w =/= 0)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
20		zcnt 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
21		nncnt 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. CC)
22	20, 21	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (x e. CC /\ y e. CC))
23		zcnt 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
24		nncnt 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. CC)
25	23, 24	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (z e. CC /\ w e. CC))
26	22, 25	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)))
27		nnne0t 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y =/= 0)
28	27	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> y =/= 0)
29		nnne0t 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w =/= 0)
30	29	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> w =/= 0)
31	28, 30	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y =/= 0 /\ w =/= 0))
32	19, 26, 31	sylanc 473	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
33	18, 32	sylan9eqr 1532	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
34	3, 14, 17, 33	syl3anc 860	. . . . . . 7 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
35	34	an4s 510	. . . . . 6 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ A = (x / y)) /\ ((z e. ZZ /\ w e. NN) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
36	35	exp43 386	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))))
37	36	r19.23aivv 1751	. . . 4 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ)))
38	37	r19.23advv 1752	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> (E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))
39	38	imp 350	. 2 |- ((E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) /\ E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w)) -> (A + B) e. QQ)
40		elq 6258	. 2 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
41		elq 6258	. 2 |- (B e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w))
42	39, 40, 41	syl2anb 457	1 |- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308  ZZcz 5310  QQcq 5311

This theorem is referenced by:  qsubclt 6273  qrevaddclt 6276

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-q 6257

Copyright terms: Public domain