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Theorem qbtwnre 10526
Description: The rational numbers are dense in  RR: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 9267 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2 resubcl 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
3 nnrecl 9963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) )
42, 3sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  0  <  ( B  -  A )
)  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )
)
54ex 423 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
65ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
71, 6sylbid 206 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
8 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
10 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
119, 10remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  B )  e.  RR )
12 peano2rem 9113 . . . . . . 7  |-  ( ( y  x.  B )  e.  RR  ->  (
( y  x.  B
)  -  1 )  e.  RR )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  x.  B )  - 
1 )  e.  RR )
14 zbtwnre 10314 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
15 reurex 2754 . . . . . 6  |-  ( E! z  e.  ZZ  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
17 znq 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  /  y
)  e.  QQ )
1817ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  /  y
)  e.  QQ )
1918adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  /  y
)  e.  QQ )
20 an32 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) )  /\  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )
)  <->  ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
218ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  RR )
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  RR )
2321, 22remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  A
)  e.  RR )
2413adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  B )  -  1 )  e.  RR )
25 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
2625ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
z  e.  RR )
27 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  x.  A
)  e.  RR  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  ->  (
y  x.  A )  <  z ) )
2823, 24, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  ->  (
y  x.  A )  <  z ) )
2921recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  RR )
3130recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
3222recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
3329, 31, 32subdid 9235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) )
3433breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( 1  <  (
y  x.  ( B  -  A ) )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
35 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
3635a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
1  e.  RR )
3730, 22resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
38 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
3938ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
0  <  y )
40 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( B  -  A
)  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  <->  1  <  ( y  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4136, 37, 21, 39, 40syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  <->  1  <  ( y  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4211adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  B
)  e.  RR )
43 ltsub13 9255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  x.  A
)  e.  RR  /\  ( y  x.  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
4423, 42, 36, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
4534, 41, 443bitr4rd 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <-> 
( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
4645anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  <->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  /\  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z ) ) )
47 ancom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A )  /\  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z )  <->  ( (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) ) )
4846, 47syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  <->  ( (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) ) ) )
49 ltmuldiv2 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( ( y  x.  A )  < 
z  <->  A  <  ( z  /  y ) ) )
5022, 26, 21, 39, 49syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  z  <->  A  <  ( z  / 
y ) ) )
5128, 48, 503imtr3d 258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  ( 1  /  y )  < 
( B  -  A
) )  ->  A  <  ( z  /  y
) ) )
5242recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  B
)  e.  CC )
53 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
54 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( y  x.  B ) )
5552, 53, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( y  x.  B ) )
5655breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  <-> 
z  <  ( y  x.  B ) ) )
57 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( ( z  /  y )  < 
B  <->  z  <  (
y  x.  B ) ) )
5826, 30, 21, 39, 57syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( z  / 
y )  <  B  <->  z  <  ( y  x.  B ) ) )
5956, 58bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  <-> 
( z  /  y
)  <  B )
)
6059biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  ->  ( z  / 
y )  <  B
) )
6151, 60anim12d 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
6220, 61syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 ) )  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  -> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
63 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  ( A  <  x  <->  A  <  ( z  /  y ) ) )
64 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  (
x  <  B  <->  ( z  /  y )  < 
B ) )
6563, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  <-> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
6665rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  /  y
)  e.  QQ  /\  ( A  <  ( z  /  y )  /\  ( z  /  y
)  <  B )
)  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
6719, 62, 66ee12an 1353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 ) )  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
6867exp3a 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) ) )
6968expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) ) ) )
7069rexlimdv 2666 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) ) )
7116, 70mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  y )  < 
( B  -  A
)  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
7271rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
737, 72syld 40 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
74733impia 1148 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   E!wreu 2545   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   QQcq 10316
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10527  qsqueeze  10528  nmoleub2lem3  18596  mbfaddlem  19015  rpnnen3lem  27124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317
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