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Theorem qbtwnre 10774
Description: The rational numbers are dense in  RR: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 9510 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2 resubcl 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
3 nnrecl 10208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) )
42, 3sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  0  <  ( B  -  A )
)  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )
)
54ex 424 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
65ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
71, 6sylbid 207 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
8 nnre 9996 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
98adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
10 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
119, 10remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  B )  e.  RR )
12 peano2rem 9356 . . . . . . 7  |-  ( ( y  x.  B )  e.  RR  ->  (
( y  x.  B
)  -  1 )  e.  RR )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  x.  B )  - 
1 )  e.  RR )
14 zbtwnre 10561 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
15 reurex 2914 . . . . . 6  |-  ( E! z  e.  ZZ  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
1613, 14, 153syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
17 znq 10567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  /  y
)  e.  QQ )
1817ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  /  y
)  e.  QQ )
1918adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  /  y
)  e.  QQ )
20 an32 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) )  /\  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )
)  <->  ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
218ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  RR )
22 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  RR )
2321, 22remulcld 9105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  A
)  e.  RR )
2413adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  B )  -  1 )  e.  RR )
25 zre 10275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
2625ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
z  e.  RR )
27 ltletr 9155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  x.  A
)  e.  RR  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  ->  (
y  x.  A )  <  z ) )
2823, 24, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  ->  (
y  x.  A )  <  z ) )
2921recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
30 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  RR )
3130recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
3222recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
3329, 31, 32subdid 9478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) )
3433breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( 1  <  (
y  x.  ( B  -  A ) )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
35 1re 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
1  e.  RR )
3730, 22resubcld 9454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
38 nngt0 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
0  <  y )
40 ltdivmul 9871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( B  -  A
)  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  <->  1  <  ( y  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4136, 37, 21, 39, 40syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  <->  1  <  ( y  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4211adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  B
)  e.  RR )
43 ltsub13 9498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  x.  A
)  e.  RR  /\  ( y  x.  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
4423, 42, 36, 43syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
4534, 41, 443bitr4rd 278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <-> 
( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
4645anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  <->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  /\  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z ) ) )
47 ancom 438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A )  /\  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z )  <->  ( (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) ) )
4846, 47syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  <->  ( (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) ) ) )
49 ltmuldiv2 9870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( ( y  x.  A )  < 
z  <->  A  <  ( z  /  y ) ) )
5022, 26, 21, 39, 49syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  z  <->  A  <  ( z  / 
y ) ) )
5128, 48, 503imtr3d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  ( 1  /  y )  < 
( B  -  A
) )  ->  A  <  ( z  /  y
) ) )
5242recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  B
)  e.  CC )
53 ax-1cn 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
54 npcan 9303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( y  x.  B ) )
5552, 53, 54sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( y  x.  B ) )
5655breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  <-> 
z  <  ( y  x.  B ) ) )
57 ltdivmul 9871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( ( z  /  y )  < 
B  <->  z  <  (
y  x.  B ) ) )
5826, 30, 21, 39, 57syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( z  / 
y )  <  B  <->  z  <  ( y  x.  B ) ) )
5956, 58bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  <-> 
( z  /  y
)  <  B )
)
6059biimpd 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  ->  ( z  / 
y )  <  B
) )
6151, 60anim12d 547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
6220, 61syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 ) )  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  -> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
63 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  ( A  <  x  <->  A  <  ( z  /  y ) ) )
64 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  (
x  <  B  <->  ( z  /  y )  < 
B ) )
6563, 64anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  <-> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
6665rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  /  y
)  e.  QQ  /\  ( A  <  ( z  /  y )  /\  ( z  /  y
)  <  B )
)  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
6719, 62, 66ee12an 1372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 ) )  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
6867exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) ) )
6968expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) ) ) )
7069rexlimdv 2821 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) ) )
7116, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  y )  < 
( B  -  A
)  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
7271rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
737, 72syld 42 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
74733impia 1150 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   E!wreu 2699   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   ZZcz 10271   QQcq 10563
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10775  qsqueeze  10776  nmoleub2lem3  19111  mbfaddlem  19540  rpnnen3lem  27039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564
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