Theorem qdensere 7691

Description: QQ is dense in the standard topology on RR.

Assertion

Ref	Expression
qdensere	|- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) = RR

Proof of Theorem qdensere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 7598	. . 3 |- (topGen` ran (,)) e. Top
2		qssre 6202	. . 3 |- QQ (_ RR
3		uniretop 7599	. . . . 5 |- U.(topGen` ran (,)) = RR
4	3	eqcomi 1471	. . . 4 |- RR = U.(topGen` ran (,))
5	4	clsss3 7633	. . 3 |- (((topGen` ran (,)) e. Top /\ QQ (_ RR) -> ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) (_ RR)
6	1, 2, 5	mp2an 695	. 2 |- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) (_ RR
7		reex 5284	. . . . . . . 8 |- RR e. V
8	7	rabex 2715	. . . . . . 7 |- {v e. RR | (z < v /\ v < w)} e. V
9		dfioo2 6336	. . . . . . 7 |- (,) = {<.<.z, w>., x>. | ((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ x = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})}
10	8, 9	elrnoprab 4109	. . . . . 6 |- (y e. ran (,) <-> E.z e. RR* E.w e. RR* y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})
11		iooval2t 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (z(,)w) = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})
12	11	eqeq2d 1478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (y = (z(,)w) <-> y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)}))
13	12	anbi1d 615	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = (z(,)w) /\ x e. y) <-> (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)))
14		ioon0t 6306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) =/= (/) <-> z < w))
15		qbtwnxr 6217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. RR* /\ w e. RR* /\ z < w) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w))
16	15	3expia 833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (z < w -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
17	14, 16	sylbid 203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) =/= (/) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
18		neeq1 1582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (z(,)w) -> (y =/= (/) <-> (z(,)w) =/= (/)))
19		ne0i 2276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. y -> y =/= (/))
20	18, 19	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (z(,)w) -> (x e. y -> (z(,)w) =/= (/)))
21	20	imp 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y = (z(,)w) /\ x e. y) -> (z(,)w) =/= (/))
22	17, 21	syl5 21	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = (z(,)w) /\ x e. y) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
23	13, 22	sylbird 205	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
24	23	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w))
25		eleq2 1527	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y <-> x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)}))
26		qret 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. QQ -> x e. RR)
27	26	biantrurd 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. QQ -> ((z < x /\ x < w) <-> (x e. RR /\ (z < x /\ x < w))))
28		breq2 2613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = x -> (z < v <-> z < x))
29		breq1 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = x -> (v < w <-> x < w))
30	28, 29	anbi12d 626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = x -> ((z < v /\ v < w) <-> (z < x /\ x < w)))
31	30	elrab 1896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)} <-> (x e. RR /\ (z < x /\ x < w)))
32	27, 31	syl6rbbr 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. QQ -> (x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)} <-> (z < x /\ x < w)))
33	25, 32	sylan9bb 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. QQ) -> (x e. y <-> (z < x /\ x < w)))
34	33	rexbidva 1652	. . . . . . . . . . 11 |- (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (E.x e. QQ x e. y <-> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
35	34	ad2antrl 406	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> (E.x e. QQ x e. y <-> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
36	24, 35	mpbird 196	. . . . . . . . 9 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> E.x e. QQ x e. y)
37		incom 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- (y i^i QQ) = (QQ i^i y)
38	37	eqeq1i 1474	. . . . . . . . . . 11 |- ((y i^i QQ) = (/) <-> (QQ i^i y) = (/))
39		disj 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ((QQ i^i y) = (/) <-> A.x e. QQ -. x e. y)
40		ralnex 1645	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. QQ -. x e. y <-> -. E.x e. QQ x e. y)
41	38, 39, 40	3bitr 177	. . . . . . . . . 10 |- ((y i^i QQ) = (/) <-> -. E.x e. QQ x e. y)
42	41	necon2abii 1612	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. QQ x e. y <-> (y i^i QQ) =/= (/))
43	36, 42	sylib 198	. . . . . . . 8 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> (y i^i QQ) =/= (/))
44	43	exp32 377	. . . . . . 7 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
45	44	r19.23aivv 1740	. . . . . 6 |- (E.z e. RR* E.w e. RR* y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/)))
46	10, 45	sylbi 199	. . . . 5 |- (y e. ran (,) -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/)))
47	46	rgen 1690	. . . 4 |- A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))
48		retopbas 7597	. . . . 5 |- ran (,) e. Bases
49		eqid 1468	. . . . . 6 |- (topGen` ran (,)) = (topGen` ran (,))
50	1, 4	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- ((topGen` ran (,)) e. Top /\ RR = U.(topGen` ran (,)))
51	50	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- RR = U.(topGen` ran (,))
52	49, 51	elcls3 7652	. . . . 5 |- ((ran (,) e. Bases /\ QQ (_ RR /\ x e. RR) -> (x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) <-> A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
53	48, 2, 52	mp3an12 903	. . . 4 |- (x e. RR -> (x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) <-> A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
54	47, 53	mpbiri 194	. . 3 |- (x e. RR -> x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ))
55	54	ssriv 2059	. 2 |- RR (_ ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ)
56	6, 55	eqssi 2068	1 |- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) = RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  ran crn 3161  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  QQcq 5271  RR*cxr 5457   < clt 5458  (,)cioo 6294  Topctop 7530  Basesctb 7532  topGenctg 7533  clsccl 7604

This theorem is referenced by:  qdensere2 7855

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194  df-ioo 6298  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607

Copyright terms: Public domain