Theorem qmulclt 6271

Description: Closure of multiplication of rationals.

Assertion

Ref	Expression
qmulclt	|- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A x. B) e. QQ)

Proof of Theorem qmulclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rcla4eopr 3990	. . . . . . . . . 10 |- (((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w))) -> E.v e. ZZ E.u e. NN (A x. B) = (v / u))
2	1	3expa 833	. . . . . . . . 9 |- ((((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN) /\ (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w))) -> E.v e. ZZ E.u e. NN (A x. B) = (v / u))
3		elq 6257	. . . . . . . . 9 |- ((A x. B) e. QQ <-> E.v e. ZZ E.u e. NN (A x. B) = (v / u))
4	2, 3	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- ((((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN) /\ (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w))) -> (A x. B) e. QQ)
5		zmulclt 6180	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (x x. z) e. ZZ)
6		nnmulclt 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y x. w) e. NN)
7	5, 6	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ z e. ZZ) /\ (y e. NN /\ w e. NN)) -> ((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN))
8	7	an4s 508	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN))
9	8	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> ((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN))
10		opreq12 3970	. . . . . . . . 9 |- ((A = (x / y) /\ B = (z / w)) -> (A x. B) = ((x / y) x. (z / w)))
11		divmuldivt 5780	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)) /\ (y =/= 0 /\ w =/= 0)) -> ((x / y) x. (z / w)) = ((x x. z) / (y x. w)))
12		zcnt 6140	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
13		nncnt 5930	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. CC)
14	12, 13	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (x e. CC /\ y e. CC))
15		zcnt 6140	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
16		nncnt 5930	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. CC)
17	15, 16	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (z e. CC /\ w e. CC))
18	14, 17	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)))
19		nnne0t 5949	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y =/= 0)
20	19	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> y =/= 0)
21		nnne0t 5949	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w =/= 0)
22	21	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> w =/= 0)
23	20, 22	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y =/= 0 /\ w =/= 0))
24	11, 18, 23	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x / y) x. (z / w)) = ((x x. z) / (y x. w)))
25	10, 24	sylan9eqr 1529	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w)))
26	4, 9, 25	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A x. B) e. QQ)
27	26	an4s 508	. . . . . 6 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ A = (x / y)) /\ ((z e. ZZ /\ w e. NN) /\ B = (z / w))) -> (A x. B) e. QQ)
28	27	exp43 384	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A x. B) e. QQ))))
29	28	r19.23aivv 1748	. . . 4 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A x. B) e. QQ)))
30	29	r19.23advv 1749	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> (E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w) -> (A x. B) e. QQ))
31	30	imp 350	. 2 |- ((E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) /\ E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w)) -> (A x. B) e. QQ)
32		elq 6257	. 2 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
33		elq 6257	. 2 |- (B e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w))
34	31, 32, 33	syl2anb 455	1 |- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A x. B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   x. cmul 5239   / cdiv 5294  NNcn 5296  ZZcz 5298  QQcq 5299

This theorem is referenced by:  qdivclt 6274  qexpclt 6579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-q 6256

Copyright terms: Public domain