MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 12487
Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set  ( ZZ  X.  NN ) is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen  |-  QQ  ~~  NN
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem qnnen
StepHypRef Expression
1 omelon 7343 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 nnenom 11037 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
32ensymi 6907 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 7575 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 655 . . . . . 6  |-  NN  e.  dom  card
6 znnen 12486 . . . . . . 7  |-  ZZ  ~~  NN
7 ennum 7576 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
~~  NN  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card ) )
86, 7ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card )
95, 8mpbir 202 . . . . 5  |-  ZZ  e.  dom  card
10 xpnum 7580 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card )
119, 5, 10mp2an 655 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  e. 
dom  card
12 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  / 
y ) )
13 ovex 5845 . . . . . 6  |-  ( x  /  y )  e. 
_V
1412, 13fnmpt2i 6155 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
1512rnmpt2 5916 . . . . . 6  |-  ran  (  x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
16 elq 10314 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) )
1716abbi2i 2396 . . . . . 6  |-  QQ  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
1815, 17eqtr4i 2308 . . . . 5  |-  ran  (  x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  QQ
19 df-fo 5228 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ 
X.  NN ) -onto-> QQ  <->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  /\  ran  (  x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  / 
y ) )  =  QQ ) )
2014, 18, 19mpbir2an 888 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> QQ
21 fodomnum 7680 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ  ->  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN ) ) )
2211, 20, 21mp2 19 . . 3  |-  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN )
23 nnex 9748 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2423enref 6890 . . . . 5  |-  NN  ~~  NN
25 xpen 7020 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN )  -> 
( ZZ  X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
266, 24, 25mp2an 655 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN )
27 xpnnen 12482 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
2826, 27entri 6911 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  NN
29 domentr 6916 . . 3  |-  ( ( QQ  ~<_  ( ZZ  X.  NN )  /\  ( ZZ  X.  NN )  ~~  NN )  ->  QQ  ~<_  NN )
3022, 28, 29mp2an 655 . 2  |-  QQ  ~<_  NN
31 qex 10324 . . 3  |-  QQ  e.  _V
32 nnssq 10321 . . 3  |-  NN  C_  QQ
33 ssdomg 6903 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( NN  C_  QQ  ->  NN  ~<_  QQ ) )
3431, 32, 33mp2 19 . 2  |-  NN  ~<_  QQ
35 sbth 6977 . 2  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  QQ )  ->  QQ  ~~  NN )
3630, 34, 35mp2an 655 1  |-  QQ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2271   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5217   -onto->wfo 5220  (class class class)co 5820    e. cmpt2 5822    ~~ cen 6856    ~<_ cdom 6857   cardccrd 7564    / cdiv 9419   NNcn 9742   ZZcz 10020   QQcq 10312
This theorem is referenced by:  rpnnen  12500  resdomq  12517  re2ndc  18302  ovolq  18845  opnmblALT  18953  vitali  18963  mbfimaopnlem  19005  mbfaddlem  19010  irrapx1  26313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313
  Copyright terms: Public domain W3C validator