Theorem qnnen 7715

Description: The rational numbers are countable. (This unusual proof uses the Axiom of Choice via fodom 4944 to make it much shorter, but this theorem can also be proved without it. See, for example, Exercise 2 of [Enderton] p. 133.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	|- QQ ~~ NN

Proof of Theorem qnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fo 3277	. . . . 5 |- ({<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))}:(ZZ X. NN)-onto->QQ <-> ({<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))} Fn (ZZ X. NN) /\ ran {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))} = QQ))
2		oprex 4041	. . . . . 6 |- (x / y) e. V
3		eqid 1518	. . . . . 6 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))}
4	2, 3	fnoprab2 4184	. . . . 5 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))} Fn (ZZ X. NN)
5	2, 3	elrnoprab 4187	. . . . . . 7 |- (w e. ran {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))} <-> E.x e. ZZ E.y e. NN w = (x / y))
6		elq 6396	. . . . . . 7 |- (w e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN w = (x / y))
7	5, 6	bitr4i 174	. . . . . 6 |- (w e. ran {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))} <-> w e. QQ)
8	7	eqriv 1515	. . . . 5 |- ran {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))} = QQ
9	1, 4, 8	mpbir2an 735	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))}:(ZZ X. NN)-onto->QQ
10		zex 6312	. . . . . 6 |- ZZ e. V
11		nnex 6078	. . . . . 6 |- NN e. V
12	10, 11	xpex 3349	. . . . 5 |- (ZZ X. NN) e. V
13	12	fodom 4944	. . . 4 |- ({<.<.x, y>., z>. | ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ z = (x / y))}:(ZZ X. NN)-onto->QQ -> QQ ~<_ (ZZ X. NN))
14	9, 13	ax-mp 7	. . 3 |- QQ ~<_ (ZZ X. NN)
15		znnen 7714	. . . . 5 |- ZZ ~~ NN
16	11	enref 4532	. . . . 5 |- NN ~~ NN
17	10, 11, 11, 11	xpen 4635	. . . . 5 |- ((ZZ ~~ NN /\ NN ~~ NN) -> (ZZ X. NN) ~~ (NN X. NN))
18	15, 16, 17	mp2an 701	. . . 4 |- (ZZ X. NN) ~~ (NN X. NN)
19		xpnnen 7711	. . . 4 |- (NN X. NN) ~~ NN
20	18, 19	entri 4557	. . 3 |- (ZZ X. NN) ~~ NN
21		domentr 4562	. . 3 |- ((QQ ~<_ (ZZ X. NN) /\ (ZZ X. NN) ~~ NN) -> QQ ~<_ NN)
22	14, 20, 21	mp2an 701	. 2 |- QQ ~<_ NN
23		nnssq 6402	. . 3 |- NN (_ QQ
24		ssdomg 4549	. . 3 |- (NN e. V -> (NN (_ QQ -> NN ~<_ QQ))
25	11, 23, 24	mp2 43	. 2 |- NN ~<_ QQ
26		sbth 4602	. 2 |- ((QQ ~<_ NN /\ NN ~<_ QQ) -> QQ ~~ NN)
27	22, 25, 26	mp2an 701	1 |- QQ ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wrex 1692  Vcvv 1857   (_ wss 2099   class class class wbr 2692   X. cxp 3249  ran crn 3252   Fn wfn 3258  -onto->wfo 3261  (class class class)co 4021  {copab2 4022   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   / cdiv 5448  NNcn 5450  ZZcz 5452  QQcq 5453

This theorem is referenced by:  resdomq 7762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-q 6395  df-seq1 6673  df-exp 6764

Copyright terms: Public domain