MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 12589
Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set  ( ZZ  X.  NN ) is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen  |-  QQ  ~~  NN

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 7437 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 nnenom 11134 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
32ensymi 6999 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 7669 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 653 . . . . . 6  |-  NN  e.  dom  card
6 znnen 12588 . . . . . . 7  |-  ZZ  ~~  NN
7 ennum 7670 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
~~  NN  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card )
95, 8mpbir 200 . . . . 5  |-  ZZ  e.  dom  card
10 xpnum 7674 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card )
119, 5, 10mp2an 653 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  e. 
dom  card
12 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  / 
y ) )
13 ovex 5970 . . . . . 6  |-  ( x  /  y )  e. 
_V
1412, 13fnmpt2i 6280 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
1512rnmpt2 6041 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
16 elq 10410 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) )
1716abbi2i 2469 . . . . . 6  |-  QQ  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
1815, 17eqtr4i 2381 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  QQ
19 df-fo 5343 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ 
X.  NN ) -onto-> QQ  <->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  /\  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  =  QQ ) )
2014, 18, 19mpbir2an 886 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> QQ
21 fodomnum 7774 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ  ->  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN ) ) )
2211, 20, 21mp2 17 . . 3  |-  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN )
23 nnex 9842 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2423enref 6982 . . . . 5  |-  NN  ~~  NN
25 xpen 7112 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN )  -> 
( ZZ  X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
266, 24, 25mp2an 653 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN )
27 xpnnen 12584 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
2826, 27entri 7003 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  NN
29 domentr 7008 . . 3  |-  ( ( QQ  ~<_  ( ZZ  X.  NN )  /\  ( ZZ  X.  NN )  ~~  NN )  ->  QQ  ~<_  NN )
3022, 28, 29mp2an 653 . 2  |-  QQ  ~<_  NN
31 qex 10420 . . 3  |-  QQ  e.  _V
32 nnssq 10417 . . 3  |-  NN  C_  QQ
33 ssdomg 6995 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( NN  C_  QQ  ->  NN  ~<_  QQ ) )
3431, 32, 33mp2 17 . 2  |-  NN  ~<_  QQ
35 sbth 7069 . 2  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  QQ )  ->  QQ  ~~  NN )
3630, 34, 35mp2an 653 1  |-  QQ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   Oncon0 4474   omcom 4738    X. cxp 4769   dom cdm 4771   ran crn 4772    Fn wfn 5332   -onto->wfo 5335  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947    ~~ cen 6948    ~<_ cdom 6949   cardccrd 7658    / cdiv 9513   NNcn 9836   ZZcz 10116   QQcq 10408
This theorem is referenced by:  rpnnen  12602  resdomq  12619  re2ndc  18409  ovolq  18954  opnmblALT  19062  vitali  19072  mbfimaopnlem  19114  mbfaddlem  19119  irrapx1  26236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409
  Copyright terms: Public domain W3C validator