Theorem qsexg 4287

Description: A quotient set exists. (Contributed by FL, 19-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsexg	|- (A e. V -> (A/.R) e. V)

Proof of Theorem qsexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabex2g 3607	. 2 |- (A e. V -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V)
2		rnexg 3355	. 2 |- ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V -> ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V)
3		df-rex 1648	. . . . . 6 |- (E.x e. A y = [x]R <-> E.x(x e. A /\ y = [x]R))
4	3	abbii 1573	. . . . 5 |- {y | E.x e. A y = [x]R} = {y | E.x(x e. A /\ y = [x]R)}
5		df-qs 4259	. . . . 5 |- (A/.R) = {y | E.x e. A y = [x]R}
6		rnopab 3349	. . . . 5 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} = {y | E.x(x e. A /\ y = [x]R)}
7	4, 5, 6	3eqtr4r 1504	. . . 4 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} = (A/.R)
8	7	eleq1i 1535	. . 3 |- (ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V <-> (A/.R) e. V)
9	8	biimp 151	. 2 |- (ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V -> (A/.R) e. V)
10	1, 2, 9	3syl 20	1 |- (A e. V -> (A/.R) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1462  E.wrex 1644  Vcvv 1808  {copab 2662  ran crn 3167  [cec 4252  /.cqs 4253

This theorem is referenced by:  qsex 4288  qusp 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-qs 4259

Copyright terms: Public domain