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Theorem qtopbaslem 18262
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1  |-  S  C_  RR*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Dummy variables  u  t  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem qtopbaslem
StepHypRef Expression
1 iooex 10674 . . . 4  |-  (,)  e.  _V
21rnex 4942 . . 3  |-  ran  (,)  e.  _V
3 imassrn 5025 . . 3  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  C_  ran  (,)
42, 3ssexi 4161 . 2  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e. 
_V
5 qtopbas.1 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR*
65sseli 3178 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  RR* )
75sseli 3178 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR* )
86, 7anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)
95sseli 3178 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR* )
105sseli 3178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  RR* )
119, 10anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)
12 iooin 10685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) ) )
138, 11, 12syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
) )
14 ifcl 3603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
1514ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
16 ifcl 3603 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)
17 df-ov 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  =  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )
18 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  <. if ( z  <_  v , 
v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S ) )
19 ioof 10736 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
20 ffun 5357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
2119, 20ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (,)
22 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  RR*  /\  S  C_ 
RR* )  ->  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
235, 5, 22mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2419fdmi 5360 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2523, 24sseqtr4i 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  (,)
26 funfvima2 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( S  X.  S )  C_  dom  (,) )  ->  ( <. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
2721, 25, 26mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2818, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( (,) ` 
<. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2917, 28syl5eqel 2369 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3015, 16, 29syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  ( w  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3130an4s 801 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3213, 31eqeltrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3332ralrimivva 2637 . . . 4  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3433rgen2a 2611 . . 3  |-  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
35 ffn 5355 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3619, 35ax-mp 10 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
37 ineq1 3365 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( (,) `  t
)  i^i  y )
)
3837eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
3938ralbidv 2565 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4039ralima 5720 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4136, 23, 40mp2an 655 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
42 fveq2 5486 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. z ,  w >. ) )
43 df-ov 5823 . . . . . . . . . 10  |-  ( z (,) w )  =  ( (,) `  <. z ,  w >. )
4442, 43syl6eqr 2335 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( z (,) w ) )
4544ineq1d 3371 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( (,) `  t )  i^i  y
)  =  ( ( z (,) w )  i^i  y ) )
4645eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( (,) `  t )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4746ralbidv 2565 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
48 ineq2 3366 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  y )  =  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) ) )
4948eleq1d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5049ralima 5720 . . . . . . . 8  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5136, 23, 50mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
52 fveq2 5486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. v ,  u >. ) )
53 df-ov 5823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v (,) u )  =  ( (,) `  <. v ,  u >. )
5452, 53syl6eqr 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( v (,) u ) )
5554ineq2d 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  =  ( ( z (,) w
)  i^i  ( v (,) u ) ) )
5655eleq1d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5756ralxp 4827 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5851, 57bitri 242 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5947, 58syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6059ralxp 4827 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6141, 60bitri 242 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6234, 61mpbir 202 . 2  |-  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
63 fiinbas 16685 . 2  |-  ( ( ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )  ->  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases )
644, 62, 63mp2an 655 1  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ifcif 3567   ~Pcpw 3627   <.cop 3645   class class class wbr 4025    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5216    Fn wfn 5217   -->wf 5218   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   RRcr 8732   RR*cxr 8862    <_ cle 8864   (,)cioo 10651   TopBasesctb 16630
This theorem is referenced by:  qtopbas  18263  retopbas  18264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-ioo 10655  df-bases 16633
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