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Theorem qtopbaslem 18267
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1  |-  S  C_  RR*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables  u  t  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 10679 . . . 4  |-  (,)  e.  _V
21rnex 4942 . . 3  |-  ran  (,)  e.  _V
3 imassrn 5025 . . 3  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  C_  ran  (,)
42, 3ssexi 4159 . 2  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e. 
_V
5 qtopbas.1 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR*
65sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  RR* )
75sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR* )
86, 7anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)
95sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR* )
105sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  RR* )
119, 10anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)
12 iooin 10690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) ) )
138, 11, 12syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
) )
14 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
1514ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
16 ifcl 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)
17 df-ov 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  =  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )
18 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  <. if ( z  <_  v , 
v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S ) )
19 ioof 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
20 ffun 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (,)
22 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  RR*  /\  S  C_ 
RR* )  ->  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
235, 5, 22mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2419fdmi 5394 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2523, 24sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  (,)
26 funfvima2 5754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( S  X.  S )  C_  dom  (,) )  ->  ( <. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
2721, 25, 26mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2818, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( (,) ` 
<. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2917, 28syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3015, 16, 29syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  ( w  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3130an4s 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3213, 31eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3332ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3433rgen2a 2609 . . 3  |-  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
35 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3619, 35ax-mp 8 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
37 ineq1 3363 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( (,) `  t
)  i^i  y )
)
3837eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
3938ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4039ralima 5758 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4136, 23, 40mp2an 653 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
42 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. z ,  w >. ) )
43 df-ov 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( z (,) w )  =  ( (,) `  <. z ,  w >. )
4442, 43syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( z (,) w ) )
4544ineq1d 3369 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( (,) `  t )  i^i  y
)  =  ( ( z (,) w )  i^i  y ) )
4645eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( (,) `  t )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4746ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
48 ineq2 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  y )  =  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) ) )
4948eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5049ralima 5758 . . . . . . . 8  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5136, 23, 50mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
52 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. v ,  u >. ) )
53 df-ov 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v (,) u )  =  ( (,) `  <. v ,  u >. )
5452, 53syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( v (,) u ) )
5554ineq2d 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  =  ( ( z (,) w
)  i^i  ( v (,) u ) ) )
5655eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5756ralxp 4827 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5851, 57bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5947, 58syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6059ralxp 4827 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6141, 60bitri 240 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6234, 61mpbir 200 . 2  |-  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
63 fiinbas 16690 . 2  |-  ( ( ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )  ->  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases )
644, 62, 63mp2an 653 1  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   TopBasesctb 16635
This theorem is referenced by:  qtopbas  18268  retopbas  18269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ioo 10660  df-bases 16638
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