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Theorem qtopbaslem 18194
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1  |-  S  C_  RR*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
StepHypRef Expression
1 iooex 10610 . . . 4  |-  (,)  e.  _V
21rnex 4895 . . 3  |-  ran  (,)  e.  _V
3 imassrn 4978 . . 3  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  C_  ran  (,)
42, 3ssexi 4099 . 2  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e. 
_V
5 qtopbas.1 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR*
65sseli 3118 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  RR* )
75sseli 3118 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR* )
86, 7anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)
95sseli 3118 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR* )
105sseli 3118 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  RR* )
119, 10anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)
12 iooin 10621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) ) )
138, 11, 12syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
) )
14 ifcl 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
1514ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
16 ifcl 3542 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)
17 df-ov 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  =  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )
18 opelxpi 4674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  <. if ( z  <_  v , 
v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S ) )
19 ioof 10672 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
20 ffun 5294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
2119, 20ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (,)
22 xpss12 4745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  RR*  /\  S  C_ 
RR* )  ->  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
235, 5, 22mp2an 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2419fdmi 5297 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2523, 24sseqtr4i 3153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  (,)
26 funfvima2 5653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( S  X.  S )  C_  dom  (,) )  ->  ( <. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
2721, 25, 26mp2an 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2818, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( (,) ` 
<. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2917, 28syl5eqel 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3015, 16, 29syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  ( w  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3130an4s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3213, 31eqeltrd 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3332ralrimivva 2606 . . . 4  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3433rgen2a 2580 . . 3  |-  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
35 ffn 5292 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3619, 35ax-mp 10 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
37 ineq1 3305 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( (,) `  t
)  i^i  y )
)
3837eleq1d 2322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
3938ralbidv 2534 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4039ralima 5657 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4136, 23, 40mp2an 656 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
42 fveq2 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. z ,  w >. ) )
43 df-ov 5760 . . . . . . . . . 10  |-  ( z (,) w )  =  ( (,) `  <. z ,  w >. )
4442, 43syl6eqr 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( z (,) w ) )
4544ineq1d 3311 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( (,) `  t )  i^i  y
)  =  ( ( z (,) w )  i^i  y ) )
4645eleq1d 2322 . . . . . . 7  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( (,) `  t )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4746ralbidv 2534 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
48 ineq2 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  y )  =  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) ) )
4948eleq1d 2322 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5049ralima 5657 . . . . . . . 8  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5136, 23, 50mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
52 fveq2 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. v ,  u >. ) )
53 df-ov 5760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v (,) u )  =  ( (,) `  <. v ,  u >. )
5452, 53syl6eqr 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( v (,) u ) )
5554ineq2d 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  =  ( ( z (,) w
)  i^i  ( v (,) u ) ) )
5655eleq1d 2322 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5756ralxp 4780 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5851, 57bitri 242 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5947, 58syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6059ralxp 4780 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6141, 60bitri 242 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6234, 61mpbir 202 . 2  |-  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
63 fiinbas 16617 . 2  |-  ( ( ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )  ->  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases )
644, 62, 63mp2an 656 1  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2740    i^i cin 3093    C_ wss 3094   ifcif 3506   ~Pcpw 3566   <.cop 3584   class class class wbr 3963    X. cxp 4624   dom cdm 4626   ran crn 4627   "cima 4629   Fun wfun 4632    Fn wfn 4633   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   RRcr 8669   RR*cxr 8799    <_ cle 8801   (,)cioo 10587   TopBasesctb 16562
This theorem is referenced by:  qtopbas  18195  retopbas  18196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-ioo 10591  df-bases 16565
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