Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopf1 Structured version   Unicode version

Theorem qtopf1 17840
 Description: If a quotient map is injective, then it is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopf1.1 TopOn
qtopf1.2
Assertion
Ref Expression
qtopf1 qTop

Proof of Theorem qtopf1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopf1.1 . . 3 TopOn
2 qtopf1.2 . . . 4
3 f1fn 5632 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 qtopid 17729 . . 3 TopOn qTop
61, 4, 5syl2anc 643 . 2 qTop
7 f1f1orn 5677 . . . . 5
82, 7syl 16 . . . 4
9 f1ocnv 5679 . . . 4
10 f1of 5666 . . . 4
118, 9, 103syl 19 . . 3
12 imacnvcnv 5326 . . . . 5
13 imassrn 5208 . . . . . . 7
1413a1i 11 . . . . . 6
152adantr 452 . . . . . . . 8
16 toponss 16986 . . . . . . . . 9 TopOn
171, 16sylan 458 . . . . . . . 8
18 f1imacnv 5683 . . . . . . . 8
1915, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . 7
20 simpr 448 . . . . . . 7
2119, 20eqeltrd 2509 . . . . . 6
22 dffn4 5651 . . . . . . . . 9
234, 22sylib 189 . . . . . . . 8
24 elqtop3 17727 . . . . . . . 8 TopOn qTop
251, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7 qTop
2625adantr 452 . . . . . 6 qTop
2714, 21, 26mpbir2and 889 . . . . 5 qTop
2812, 27syl5eqel 2519 . . . 4 qTop
2928ralrimiva 2781 . . 3 qTop
30 qtoptopon 17728 . . . . 5 TopOn qTop TopOn
311, 23, 30syl2anc 643 . . . 4 qTop TopOn
32 iscn 17291 . . . 4 qTop TopOn TopOn qTop qTop
3331, 1, 32syl2anc 643 . . 3 qTop qTop
3411, 29, 33mpbir2and 889 . 2 qTop
35 ishmeo 17783 . 2 qTop qTop qTop
366, 34, 35sylanbrc 646 1 qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312  ccnv 4869   crn 4871  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  wf1 5443  wfo 5444  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   qTop cqtop 13721  TopOnctopon 16951   ccn 17280   chmeo 17777 This theorem is referenced by:  t0kq  17842 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283  df-hmeo 17779
 Copyright terms: Public domain W3C validator