Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtophmeo Structured version   Unicode version

Theorem qtophmeo 17849
 Description: If two functions on a base topology make the same identifications in order to create quotient spaces qTop and qTop , then not only are qTop and qTop homeomorphic, but there is a unique homeomorhism that makes the diagram commute. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophmeo.2 TopOn
qtophmeo.3
qtophmeo.4
qtophmeo.5
Assertion
Ref Expression
qtophmeo qTop qTop
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem qtophmeo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophmeo.2 . . . . 5 TopOn
2 qtophmeo.3 . . . . 5
3 qtophmeo.4 . . . . . . 7
4 fofn 5655 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
6 qtopid 17737 . . . . . 6 TopOn qTop
71, 5, 6syl2anc 643 . . . . 5 qTop
8 df-3an 938 . . . . . 6
9 qtophmeo.5 . . . . . . . 8
109biimpd 199 . . . . . . 7
1110impr 603 . . . . . 6
128, 11sylan2b 462 . . . . 5
131, 2, 7, 12qtopeu 17748 . . . 4 qTop qTop
14 reurex 2922 . . . 4 qTop qTop qTop qTop
1513, 14syl 16 . . 3 qTop qTop
16 simprl 733 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop
17 fofn 5655 . . . . . . . . . . . . 13
182, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12
19 qtopid 17737 . . . . . . . . . . . 12 TopOn qTop
201, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 qTop
21 df-3an 938 . . . . . . . . . . . 12
229biimprd 215 . . . . . . . . . . . . 13
2322impr 603 . . . . . . . . . . . 12
2421, 23sylan2b 462 . . . . . . . . . . 11
251, 3, 20, 24qtopeu 17748 . . . . . . . . . 10 qTop qTop
2625adantr 452 . . . . . . . . 9 qTop qTop qTop qTop
27 reurex 2922 . . . . . . . . 9 qTop qTop qTop qTop
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8 qTop qTop qTop qTop
29 qtoptopon 17736 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn qTop TopOn
301, 2, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 qTop TopOn
3130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
32 qtoptopon 17736 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn qTop TopOn
331, 3, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 qTop TopOn
3433ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
35 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
36 cnf2 17313 . . . . . . . . . . . 12 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
3731, 34, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 qTop qTop qTop qTop
38 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
39 cnf2 17313 . . . . . . . . . . . 12 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
4034, 31, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 qTop qTop qTop qTop
41 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . 15
421, 3, 7, 41qtopeu 17748 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
44 reurmo 2923 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
46 cnco 17330 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
4738, 35, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
48 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
49 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop
5049coeq2d 5035 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
5148, 50eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
52 coass 5388 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop
54 idcn 17321 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop TopOn qTop qTop
5533, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
57 fof 5653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
583, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
60 fcoi2 5618 . . . . . . . . . . . . . 14
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
6261eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop
63 coeq1 5030 . . . . . . . . . . . . . 14
6463eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13
65 coeq1 5030 . . . . . . . . . . . . . 14
6665eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13
6764, 66rmoi 3250 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
6845, 47, 53, 56, 62, 67syl122anc 1193 . . . . . . . . . . 11 qTop qTop qTop qTop
69 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . 15
701, 2, 20, 69qtopeu 17748 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop
7170ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
72 reurmo 2923 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
74 cnco 17330 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
7535, 38, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
7648coeq2d 5035 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
7749, 76eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
78 coass 5388 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop
80 idcn 17321 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop TopOn qTop qTop
8130, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop
8281ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
83 fof 5653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
842, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
86 fcoi2 5618 . . . . . . . . . . . . . 14
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
8887eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop
89 coeq1 5030 . . . . . . . . . . . . . 14
9089eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13
91 coeq1 5030 . . . . . . . . . . . . . 14
9291eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13
9390, 92rmoi 3250 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
9473, 75, 79, 82, 88, 93syl122anc 1193 . . . . . . . . . . 11 qTop qTop qTop qTop
95 fcof1o 6026 . . . . . . . . . . 11
9637, 40, 68, 94, 95syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10 qTop qTop qTop qTop
9796simprd 450 . . . . . . . . 9 qTop qTop qTop qTop
9897, 38eqeltrd 2510 . . . . . . . 8 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
9928, 98rexlimddv 2834 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop
100 ishmeo 17791 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
10116, 99, 100sylanbrc 646 . . . . . 6 qTop qTop qTop qTop
102 simprr 734 . . . . . 6 qTop qTop
103101, 102jca 519 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
104103ex 424 . . . 4 qTop qTop qTop qTop
105104reximdv2 2815 . . 3 qTop qTop qTop qTop
10615, 105mpd 15 . 2 qTop qTop
107 eqtr2 2454 . . . 4
1082adantr 452 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
10930adantr 452 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
11033adantr 452 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
111 simprl 733 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
112 hmeof1o2 17795 . . . . . . 7 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
113109, 110, 111, 112syl3anc 1184 . . . . . 6 qTop qTop qTop qTop
114 f1ofn 5675 . . . . . 6
115113, 114syl 16 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
116 simprr 734 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
117 hmeof1o2 17795 . . . . . . 7 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
118109, 110, 116, 117syl3anc 1184 . . . . . 6 qTop qTop qTop qTop
119 f1ofn 5675 . . . . . 6
120118, 119syl 16 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
121 cocan2 6025 . . . . 5
122108, 115, 120, 121syl3anc 1184 . . . 4 qTop qTop qTop qTop
123107, 122syl5ib 211 . . 3 qTop qTop qTop qTop
124123ralrimivva 2798 . 2 qTop qTop qTop qTop
125 coeq1 5030 . . . 4
126125eqeq2d 2447 . . 3
127126reu4 3128 . 2 qTop qTop qTop qTop qTop qTop qTop qTop
128106, 124, 127sylanbrc 646 1 qTop qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  wreu 2707  wrmo 2708   cid 4493  ccnv 4877   cres 4880   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081   qTop cqtop 13729  TopOnctopon 16959   ccn 17288   chmeo 17785 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-qtop 13733  df-top 16963  df-topon 16966  df-cn 17291  df-hmeo 17787
 Copyright terms: Public domain W3C validator