MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r10 Unicode version

Theorem r10 7683
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at  (/). Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r10  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem r10
StepHypRef Expression
1 df-r1 7679 . . 3  |-  R1  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
21fveq1i 5720 . 2  |-  ( R1
`  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x
) ,  (/) ) `  (/) )
3 0ex 4331 . . 3  |-  (/)  e.  _V
43rdg0 6670 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
52, 4eqtri 2455 1  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791    e. cmpt 4258   ` cfv 5445   reccrdg 6658   R1cr1 7677
This theorem is referenced by:  r1fin  7688  r1tr  7691  r1pwss  7699  r1val1  7701  rankeq0b  7775  ackbij2lem2  8109  ackbij2lem3  8110  wunr1om  8583  r1wunlim  8601  tskr1om  8631  inar1  8639  r1tskina  8646  grur1a  8683  grothomex  8693  rankeq1o  26060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-r1 7679
  Copyright terms: Public domain W3C validator