MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r10 Unicode version

Theorem r10 7436
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at  (/). Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r10  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem r10
StepHypRef Expression
1 df-r1 7432 . . 3  |-  R1  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
21fveq1i 5487 . 2  |-  ( R1
`  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x
) ,  (/) ) `  (/) )
3 0ex 4152 . . 3  |-  (/)  e.  _V
43rdg0 6430 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
52, 4eqtri 2305 1  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1624   _Vcvv 2790   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627    e. cmpt 4079   ` cfv 5222   reccrdg 6418   R1cr1 7430
This theorem is referenced by:  r1fin  7441  r1tr  7444  r1pwss  7452  r1val1  7454  rankeq0b  7528  ackbij2lem2  7862  ackbij2lem3  7863  wunr1om  8337  r1wunlim  8355  tskr1om  8385  inar1  8393  r1tskina  8400  grur1a  8437  grothomex  8447  rankeq1o  24209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-r1 7432
  Copyright terms: Public domain W3C validator