Theorem r10 4623

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at (/). Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76.

Assertion

Ref	Expression
r10	|- (R1` (/)) = (/)

Proof of Theorem r10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r1 4615	. . 3 |- R1 = rec({<.x, y>. | y = P~x}, (/))
2	1	fveq1i 3710	. 2 |- (R1` (/)) = (rec({<.x, y>. | y = P~x}, (/))` (/))
3		0ex 2701	. . 3 |- (/) e. V
4	3	rdg0 3926	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = P~x}, (/))` (/)) = (/)
5	2, 4	eqtr 1487	1 |- (R1` (/)) = (/)

Syntax hints:   = wceq 953  (/)c0 2270  P~cpw 2391  {copab 2656  ` cfv 3172  reccrdg 3916  R1cr1 4613

This theorem is referenced by:  r1tr 4626  r1val1 4630  rankr1 4646  rankeq0 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-r1 4615

Copyright terms: Public domain