MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elss Unicode version

Theorem r1elss 7432
Description: The range of the  R1 function is transitive. Lemma 2.10 of [Kunen] p. 97. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
r1elss.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
r1elss  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  A  C_  U. ( R1 " On ) )

Proof of Theorem r1elss
StepHypRef Expression
1 r1elssi 7431 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
2 r1elss.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
32tz9.12 7416 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x
)  ->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
4 dfss3 3131 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  y  e.  U. ( R1 " On ) )
5 r1fnon 7393 . . . . . . . 8  |-  R1  Fn  On
6 fnfun 5265 . . . . . . . 8  |-  ( R1  Fn  On  ->  Fun  R1 )
7 funiunfv 5694 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1
" On ) )
85, 6, 7mp2b 11 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1 " On )
98eleq2i 2320 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
10 eliun 3869 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
119, 10bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
1211ralbii 2540 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
134, 12bitri 242 . . 3  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
148eleq2i 2320 . . . 4  |-  ( A  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
15 eliun 3869 . . . 4  |-  ( A  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
1614, 15bitr3i 244 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
173, 13, 163imtr4i 259 . 2  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  ->  A  e. 
U. ( R1 " On ) )
181, 17impbii 182 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  A  C_  U. ( R1 " On ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   U.cuni 3787   U_ciun 3865   Oncon0 4350   "cima 4650   Fun wfun 4653    Fn wfn 4654   ` cfv 4659   R1cr1 7388
This theorem is referenced by:  unir1  7439  tcwf  7507  tcrank  7508  rankcf  8353  wfgru  8392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-r1 7390
  Copyright terms: Public domain W3C validator