MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elss Unicode version

Theorem r1elss 7362
Description: The range of the  R1 function is transitive. Lemma 2.10 of [Kunen] p. 97. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
r1elss.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
r1elss  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  A  C_  U. ( R1 " On ) )

Proof of Theorem r1elss
StepHypRef Expression
1 r1elssi 7361 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
2 r1elss.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
32tz9.12 7346 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x
)  ->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
4 dfss3 3093 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  y  e.  U. ( R1 " On ) )
5 r1fnon 7323 . . . . . . . 8  |-  R1  Fn  On
6 fnfun 5198 . . . . . . . 8  |-  ( R1  Fn  On  ->  Fun  R1 )
7 funiunfv 5626 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1
" On ) )
85, 6, 7mp2b 11 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1 " On )
98eleq2i 2317 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
10 eliun 3807 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
119, 10bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
1211ralbii 2531 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
134, 12bitri 242 . . 3  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
148eleq2i 2317 . . . 4  |-  ( A  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
15 eliun 3807 . . . 4  |-  ( A  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
1614, 15bitr3i 244 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
173, 13, 163imtr4i 259 . 2  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  ->  A  e. 
U. ( R1 " On ) )
181, 17impbii 182 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  A  C_  U. ( R1 " On ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   U.cuni 3727   U_ciun 3803   Oncon0 4285   "cima 4583   Fun wfun 4586    Fn wfn 4587   ` cfv 4592   R1cr1 7318
This theorem is referenced by:  unir1  7369  tcwf  7437  tcrank  7438  rankcf  8279  wfgru  8318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320
  Copyright terms: Public domain W3C validator