MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elssi Unicode version

Theorem r1elssi 7431
Description: The range of the  R1 function is transitive. Lemma 2.10 of [Kunen] p. 97. One direction of r1elss 7432 that doesn't need  A to be a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elssi  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )

Proof of Theorem r1elssi
StepHypRef Expression
1 triun 4086 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  Tr  ( R1 `  x )  ->  Tr  U_ x  e.  On  ( R1 `  x ) )
2 r1tr 7402 . . . . 5  |-  Tr  ( R1 `  x )
32a1i 12 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  Tr  ( R1 `  x ) )
41, 3mprg 2585 . . 3  |-  Tr  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )
5 r1funlim 7392 . . . . . 6  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
65simpli 446 . . . . 5  |-  Fun  R1
7 funiunfv 5694 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1
" On ) )
86, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1 " On )
9 treq 4079 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  = 
U. ( R1 " On )  ->  ( Tr 
U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  Tr  U. ( R1 " On ) ) )
108, 9ax-mp 10 . . 3  |-  ( Tr 
U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  Tr  U. ( R1 " On ) )
114, 10mpbi 201 . 2  |-  Tr  U. ( R1 " On )
12 trss 4082 . 2  |-  ( Tr 
U. ( R1 " On )  ->  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) ) )
1311, 12ax-mp 10 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3113   U.cuni 3787   U_ciun 3865   Tr wtr 4073   Oncon0 4350   Lim wlim 4351   dom cdm 4647   "cima 4650   Fun wfun 4653   ` cfv 4659   R1cr1 7388
This theorem is referenced by:  r1elss  7432  pwwf  7433  rankelb  7450  rankval3b  7452  r1pw  7471  rankuni2b  7479  tcwf  7507  tcrank  7508  hsmexlem4  8009  rankcf  8353  wfgru  8392  grur1  8396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-r1 7390
  Copyright terms: Public domain W3C validator