MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elssi Unicode version

Theorem r1elssi 7410
Description: The range of the  R1 function is transitive. Lemma 2.10 of [Kunen] p. 97. One direction of r1elss 7411 that doesn't need  A to be a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elssi  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )

Proof of Theorem r1elssi
StepHypRef Expression
1 triun 4066 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  Tr  ( R1 `  x )  ->  Tr  U_ x  e.  On  ( R1 `  x ) )
2 r1tr 7381 . . . . 5  |-  Tr  ( R1 `  x )
32a1i 12 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  Tr  ( R1 `  x ) )
41, 3mprg 2583 . . 3  |-  Tr  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )
5 r1funlim 7371 . . . . . 6  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
65simpli 446 . . . . 5  |-  Fun  R1
7 funiunfv 5673 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1
" On ) )
86, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1 " On )
9 treq 4059 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  = 
U. ( R1 " On )  ->  ( Tr 
U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  Tr  U. ( R1 " On ) ) )
108, 9ax-mp 10 . . 3  |-  ( Tr 
U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  Tr  U. ( R1 " On ) )
114, 10mpbi 201 . 2  |-  Tr  U. ( R1 " On )
12 trss 4062 . 2  |-  ( Tr 
U. ( R1 " On )  ->  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) ) )
1311, 12ax-mp 10 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3094   U.cuni 3768   U_ciun 3846   Tr wtr 4053   Oncon0 4329   Lim wlim 4330   dom cdm 4626   "cima 4629   Fun wfun 4632   ` cfv 4638   R1cr1 7367
This theorem is referenced by:  r1elss  7411  pwwf  7412  rankelb  7429  rankval3b  7431  r1pw  7450  rankuni2b  7458  tcwf  7486  tcrank  7487  hsmexlem4  7988  rankcf  8332  wfgru  8371  grur1  8375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-r1 7369
  Copyright terms: Public domain W3C validator