MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord2 Unicode version

Theorem r1ord2 7448
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( R1 `  A ) 
C_  ( R1 `  B ) ) )

Proof of Theorem r1ord2
StepHypRef Expression
1 r1ord 7447 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
2 r1tr 7443 . . 3  |-  Tr  ( R1 `  B )
3 trss 4123 . . 3  |-  ( Tr  ( R1 `  B
)  ->  ( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B
)  ->  ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  B ) ) )
42, 3ax-mp 10 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B )  ->  ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  B ) )
51, 4syl6 31 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( R1 `  A ) 
C_  ( R1 `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1685    C_ wss 3153   Tr wtr 4114   Oncon0 4391   ` cfv 5221   R1cr1 7429
This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  7456  dfac12lem2  7765  smobeth  8203  wunexALT  8358  inatsk  8395  uncum2  24508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-r1 7431
  Copyright terms: Public domain W3C validator