MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord2 Unicode version

Theorem r1ord2 7696
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( R1 `  A ) 
C_  ( R1 `  B ) ) )

Proof of Theorem r1ord2
StepHypRef Expression
1 r1ord 7695 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
2 r1tr 7691 . . 3  |-  Tr  ( R1 `  B )
3 trss 4303 . . 3  |-  ( Tr  ( R1 `  B
)  ->  ( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B
)  ->  ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  B ) ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B )  ->  ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  B ) )
51, 4syl6 31 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( R1 `  A ) 
C_  ( R1 `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    C_ wss 3312   Tr wtr 4294   Oncon0 4573   ` cfv 5445   R1cr1 7677
This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  7704  dfac12lem2  8013  smobeth  8450  wunex3  8605  inatsk  8642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-r1 7679
  Copyright terms: Public domain W3C validator