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Theorem r1ordg 7334
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )

Proof of Theorem r1ordg
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  dom  R1 )
2 r1funlim 7322 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
32simpri 450 . . . . . . 7  |-  Lim  dom  R1
4 limord 4344 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
53, 4ax-mp 10 . . . . . 6  |-  Ord  dom  R1
6 ordsson 4472 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  dom  R1  C_  On )
75, 6ax-mp 10 . . . . 5  |-  dom  R1  C_  On
87sseli 3099 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  B  e.  On )
91, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  On )
10 onelon 4310 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
118, 10sylan 459 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
12 suceloni 4495 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  e.  On )
14 eloni 4295 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
15 ordsucss 4500 . . . . . 6  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
1716imp 420 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
188, 17sylan 459 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
19 eleq1 2313 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc 
A  e.  dom  R1 ) )
20 fveq2 5377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
2120eleq2d 2320 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
2219, 21imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  A ) ) ) )
23 eleq1 2313 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  y  e.  dom  R1 ) )
24 fveq2 5377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
2524eleq2d 2320 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) ) )
2623, 25imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) ) )
27 eleq1 2313 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc  y  e.  dom  R1 ) )
28 fveq2 5377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
2928eleq2d 2320 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
3027, 29imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
31 eleq1 2313 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  B  e.  dom  R1 ) )
32 fveq2 5377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  B
) )
3332eleq2d 2320 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
3431, 33imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( B  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) ) )
35 fvex 5391 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
3635pwid 3542 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  A )  e. 
~P ( R1 `  A )
37 limsuc 4531 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 ) )
383, 37ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 )
39 r1sucg 7325 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A
)  =  ~P ( R1 `  A ) )
4038, 39sylbir 206 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
4136, 40syl5eleqr 2340 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
4241a1i 12 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
43 limsuc 4531 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 ) )
443, 43ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 )
45 r1tr 7332 . . . . . . . . . . 11  |-  Tr  ( R1 `  y )
46 dftr4 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  ( R1 `  y
)  <->  ( R1 `  y )  C_  ~P ( R1 `  y ) )
4745, 46mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1
`  y )  C_  ~P ( R1 `  y
)
48 r1sucg 7325 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  y
)  =  ~P ( R1 `  y ) )
4947, 48syl5sseqr 3148 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  y ) 
C_  ( R1 `  suc  y ) )
5049sseld 3102 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
5150a2i 14 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( y  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5244, 51syl5bir 211 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5352a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
54 simprl 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  C_  x )
55 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  On )
56 sucelon 4499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
5755, 56sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  On )
58 limord 4344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
5958ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Ord  x )
60 ordelsuc 4502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  x )  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  C_  x ) )
6157, 59, 60syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  C_  x )
)
6254, 61mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  x )
63 limsuc 4531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
6463ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  e.  x ) )
6562, 64mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  x )
66 simprr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
67 ordtr1 4328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 ) )
685, 67ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 )
6962, 66, 68syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
7069, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
7136, 70syl5eleqr 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
72 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( R1 `  y
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
7372eleq2d 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
7473rcla4ev 2821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7565, 71, 74syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
76 eliun 3807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  A )  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7775, 76sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
78 simpll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Lim  x )
79 r1limg 7327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
Lim  x )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8066, 78, 79syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8177, 80eleqtrrd 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )
8281expr 601 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  (
x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) ) )
8382a1d 24 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  A  C_  y  ->  ( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x
) ) ) )
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 4542 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( B  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
8584impr 605 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  B  /\  B  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) )
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 1188 . 2  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) )
8786ex 425 1  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   U_ciun 3803   Tr wtr 4010   Ord word 4284   Oncon0 4285   Lim wlim 4286   suc csuc 4287   dom cdm 4580   Fun wfun 4586   ` cfv 4592   R1cr1 7318
This theorem is referenced by:  r1ord3g  7335  r1ord  7336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320
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