MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ordg Unicode version

Theorem r1ordg 7446
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem r1ordg
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  dom  R1 )
2 r1funlim 7434 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
32simpri 450 . . . . . . 7  |-  Lim  dom  R1
4 limord 4451 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
53, 4ax-mp 10 . . . . . 6  |-  Ord  dom  R1
6 ordsson 4581 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  dom  R1  C_  On )
75, 6ax-mp 10 . . . . 5  |-  dom  R1  C_  On
87sseli 3178 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  B  e.  On )
91, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  On )
10 onelon 4417 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
118, 10sylan 459 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
12 suceloni 4604 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  e.  On )
14 eloni 4402 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
15 ordsucss 4609 . . . . . 6  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
1716imp 420 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
188, 17sylan 459 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
19 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc 
A  e.  dom  R1 ) )
20 fveq2 5486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
2120eleq2d 2352 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
2219, 21imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  A ) ) ) )
23 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  y  e.  dom  R1 ) )
24 fveq2 5486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
2524eleq2d 2352 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) ) )
2623, 25imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) ) )
27 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc  y  e.  dom  R1 ) )
28 fveq2 5486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
2928eleq2d 2352 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
3027, 29imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
31 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  B  e.  dom  R1 ) )
32 fveq2 5486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  B
) )
3332eleq2d 2352 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
3431, 33imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( B  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) ) )
35 fvex 5500 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
3635pwid 3640 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  A )  e. 
~P ( R1 `  A )
37 limsuc 4640 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 ) )
383, 37ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 )
39 r1sucg 7437 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A
)  =  ~P ( R1 `  A ) )
4038, 39sylbir 206 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
4136, 40syl5eleqr 2372 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
4241a1i 12 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
43 limsuc 4640 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 ) )
443, 43ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 )
45 r1tr 7444 . . . . . . . . . . 11  |-  Tr  ( R1 `  y )
46 dftr4 4120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  ( R1 `  y
)  <->  ( R1 `  y )  C_  ~P ( R1 `  y ) )
4745, 46mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1
`  y )  C_  ~P ( R1 `  y
)
48 r1sucg 7437 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  y
)  =  ~P ( R1 `  y ) )
4947, 48syl5sseqr 3229 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  y ) 
C_  ( R1 `  suc  y ) )
5049sseld 3181 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
5150a2i 14 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( y  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5244, 51syl5bir 211 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5352a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
54 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  C_  x )
55 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  On )
56 sucelon 4608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
5755, 56sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  On )
58 limord 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
5958ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Ord  x )
60 ordelsuc 4611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  x )  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  C_  x ) )
6157, 59, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  C_  x )
)
6254, 61mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  x )
63 limsuc 4640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
6463ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  e.  x ) )
6562, 64mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  x )
66 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
67 ordtr1 4435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 ) )
685, 67ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 )
6962, 66, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
7069, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
7136, 70syl5eleqr 2372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
72 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( R1 `  y
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
7372eleq2d 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
7473rspcev 2886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7565, 71, 74syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
76 eliun 3911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  A )  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7775, 76sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
78 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Lim  x )
79 r1limg 7439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
Lim  x )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8066, 78, 79syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8177, 80eleqtrrd 2362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )
8281expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  (
x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) ) )
8382a1d 24 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  A  C_  y  ->  ( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x
) ) ) )
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 4651 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( B  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
8584impr 604 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  B  /\  B  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) )
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) )
8786ex 425 1  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   U_ciun 3907   Tr wtr 4115   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   dom cdm 4689   Fun wfun 5216   ` cfv 5222   R1cr1 7430
This theorem is referenced by:  r1ord3g  7447  r1ord  7448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-r1 7432
  Copyright terms: Public domain W3C validator