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Theorem r1ordg 7466
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )

Proof of Theorem r1ordg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  dom  R1 )
2 r1funlim 7454 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
32simpri 448 . . . . . . 7  |-  Lim  dom  R1
4 limord 4467 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Ord  dom  R1
6 ordsson 4597 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  dom  R1  C_  On )
75, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  R1  C_  On
87sseli 3189 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  B  e.  On )
91, 8syl 15 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  On )
10 onelon 4433 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
118, 10sylan 457 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
12 suceloni 4620 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  e.  On )
14 eloni 4418 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
15 ordsucss 4625 . . . . . 6  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
1716imp 418 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
188, 17sylan 457 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
19 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc 
A  e.  dom  R1 ) )
20 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
2120eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
2219, 21imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  A ) ) ) )
23 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  y  e.  dom  R1 ) )
24 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
2524eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) ) )
2623, 25imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) ) )
27 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc  y  e.  dom  R1 ) )
28 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
2928eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
3027, 29imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
31 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  B  e.  dom  R1 ) )
32 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  B
) )
3332eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
3431, 33imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( B  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) ) )
35 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
3635pwid 3651 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  A )  e. 
~P ( R1 `  A )
37 limsuc 4656 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 ) )
383, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 )
39 r1sucg 7457 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A
)  =  ~P ( R1 `  A ) )
4038, 39sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
4136, 40syl5eleqr 2383 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
4241a1i 10 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
43 limsuc 4656 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 ) )
443, 43ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 )
45 r1tr 7464 . . . . . . . . . . 11  |-  Tr  ( R1 `  y )
46 dftr4 4134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  ( R1 `  y
)  <->  ( R1 `  y )  C_  ~P ( R1 `  y ) )
4745, 46mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1
`  y )  C_  ~P ( R1 `  y
)
48 r1sucg 7457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  y
)  =  ~P ( R1 `  y ) )
4947, 48syl5sseqr 3240 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  y ) 
C_  ( R1 `  suc  y ) )
5049sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
5150a2i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( y  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5244, 51syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5352a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
54 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  C_  x )
55 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  On )
56 sucelon 4624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
5755, 56sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  On )
58 limord 4467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Ord  x )
60 ordelsuc 4627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  x )  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  C_  x ) )
6157, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  C_  x )
)
6254, 61mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  x )
63 limsuc 4656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  e.  x ) )
6562, 64mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  x )
66 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
67 ordtr1 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 ) )
685, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 )
6962, 66, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
7069, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
7136, 70syl5eleqr 2383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
72 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( R1 `  y
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
7372eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
7473rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7565, 71, 74syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
76 eliun 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  A )  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7775, 76sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
78 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Lim  x )
79 r1limg 7459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
Lim  x )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8066, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8177, 80eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )
8281expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  (
x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) ) )
8382a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  A  C_  y  ->  ( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x
) ) ) )
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 4667 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( B  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
8584impr 602 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  B  /\  B  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) )
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) )
8786ex 423 1  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U_ciun 3921   Tr wtr 4129   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   ` cfv 5271   R1cr1 7450
This theorem is referenced by:  r1ord3g  7467  r1ord  7468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-r1 7452
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