MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1suc Unicode version

Theorem r1suc 7326
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1suc  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )

Proof of Theorem r1suc
StepHypRef Expression
1 r1sucg 7325 . 2  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A
)  =  ~P ( R1 `  A ) )
2 r1fnon 7323 . . . 4  |-  R1  Fn  On
3 fndm 5200 . . . 4  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
42, 3ax-mp 10 . . 3  |-  dom  R1  =  On
54eqcomi 2257 . 2  |-  On  =  dom  R1
61, 5eleq2s 2345 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ~Pcpw 3530   Oncon0 4285   suc csuc 4287   dom cdm 4580    Fn wfn 4587   ` cfv 4592   R1cr1 7318
This theorem is referenced by:  r1sdom  7330  r1sssuc  7339  tz9.12lem3  7345  rankval2  7374  rankpwi  7379  dfac12lem2  7654  dfac12r  7656  ackbij2lem2  7750  ackbij2lem3  7751  wunr1om  8221  r1wunlim  8239  tskr1om  8269  inar1  8277  inatsk  8280  grur1a  8321  grothomex  8331  rankeq1o  23975  elhf2  23979  0hf  23981  aomclem1  26317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320
  Copyright terms: Public domain W3C validator