Theorem r1suc 4635

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76.

Assertion

Ref	Expression
r1suc	|- (A e. On -> (R1` suc A) = P~(R1` A))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3727	. . 3 |- (R1` A) e. V
2	1	pwex 2741	. 2 |- P~(R1` A) e. V
3		ax-17 970	. . 3 |- (z e. (/) -> A.x z e. (/))
4		ax-17 970	. . 3 |- (z e. A -> A.x z e. A)
5		ax-17 970	. . 3 |- (z e. P~(R1` A) -> A.x z e. P~(R1` A))
6		df-r1 4626	. . 3 |- R1 = rec({<.x, y>. | y = P~x}, (/))
7		pweq 2400	. . 3 |- (x = (R1` A) -> P~x = P~(R1` A))
8	3, 4, 5, 6, 7	rdgsucopab 3941	. 2 |- ((A e. On /\ P~(R1` A) e. V) -> (R1` suc A) = P~(R1` A))
9	2, 8	mpan2 695	1 |- (A e. On -> (R1` suc A) = P~(R1` A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808  (/)c0 2277  P~cpw 2398  Oncon0 2944  suc csuc 2946  ` cfv 3178  R1cr1 4624

This theorem is referenced by:  r1tr 4637  r1ord 4638  r1val1 4641  tz9.12lem3 4644  rankval2 4653  rankel 4663  rankval3 4664  rankpw 4667  r1rankid 4677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-r1 4626

Copyright terms: Public domain