MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1suc Unicode version

Theorem r1suc 7410
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1suc  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )

Proof of Theorem r1suc
StepHypRef Expression
1 r1sucg 7409 . 2  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A
)  =  ~P ( R1 `  A ) )
2 r1fnon 7407 . . . 4  |-  R1  Fn  On
3 fndm 5281 . . . 4  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
42, 3ax-mp 10 . . 3  |-  dom  R1  =  On
54eqcomi 2262 . 2  |-  On  =  dom  R1
61, 5eleq2s 2350 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ~Pcpw 3599   Oncon0 4364   suc csuc 4366   dom cdm 4661    Fn wfn 4668   ` cfv 4673   R1cr1 7402
This theorem is referenced by:  r1sdom  7414  r1sssuc  7423  tz9.12lem3  7429  rankval2  7458  rankpwi  7463  dfac12lem2  7738  dfac12r  7740  ackbij2lem2  7834  ackbij2lem3  7835  wunr1om  8309  r1wunlim  8327  tskr1om  8357  inar1  8365  inatsk  8368  grur1a  8409  grothomex  8419  rankeq1o  24176  elhf2  24180  0hf  24182  aomclem1  26518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404
  Copyright terms: Public domain W3C validator