MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1suc Unicode version

Theorem r1suc 7375
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1suc  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )

Proof of Theorem r1suc
StepHypRef Expression
1 r1sucg 7374 . 2  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A
)  =  ~P ( R1 `  A ) )
2 r1fnon 7372 . . . 4  |-  R1  Fn  On
3 fndm 5246 . . . 4  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
42, 3ax-mp 10 . . 3  |-  dom  R1  =  On
54eqcomi 2260 . 2  |-  On  =  dom  R1
61, 5eleq2s 2348 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ~Pcpw 3566   Oncon0 4329   suc csuc 4331   dom cdm 4626    Fn wfn 4633   ` cfv 4638   R1cr1 7367
This theorem is referenced by:  r1sdom  7379  r1sssuc  7388  tz9.12lem3  7394  rankval2  7423  rankpwi  7428  dfac12lem2  7703  dfac12r  7705  ackbij2lem2  7799  ackbij2lem3  7800  wunr1om  8274  r1wunlim  8292  tskr1om  8322  inar1  8330  inatsk  8333  grur1a  8374  grothomex  8384  rankeq1o  24141  elhf2  24145  0hf  24147  aomclem1  26483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-r1 7369
  Copyright terms: Public domain W3C validator