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Theorem ralcom2 2706
Description: Commutation of restricted quantifiers. Note that  x and  y needn't be distinct (this makes the proof longer). (Contributed by NM, 24-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
ralcom2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A    x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem ralcom2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2345 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
21sps 1741 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
32imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ( x  e.  A  ->  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  ph )
) )
43dral1 1908 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ph )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ph )
) )
54bicomd 194 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y ( y  e.  A  ->  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ph )
) )
6 df-ral 2550 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ph ) )
7 df-ral 2550 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ph ) )
85, 6, 73bitr4g 281 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
92, 8imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
109dral1 1908 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ph )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
11 df-ral 2550 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ph ) )
12 df-ral 2550 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
1310, 11, 123bitr4g 281 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph ) )
1413biimpd 200 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph ) )
15 nfnae 1899 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
16 nfra2 2599 . . . . 5  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph
1715, 16nfan 1773 . . . 4  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )
18 nfnae 1899 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
19 nfra1 2595 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph
2018, 19nfan 1773 . . . . . . 7  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )
21 nfcvf 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
2221adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  -> 
F/_ x y )
23 nfcvd 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  -> 
F/_ x A )
2422, 23nfeld 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  ->  F/ x  y  e.  A )
2520, 24nfan1 1824 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  /\  y  e.  A )
26 rsp2 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ph ) )
2726ancomsd 442 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  ->  ph ) )
2827expdimp 428 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph 
/\  y  e.  A
)  ->  ( x  e.  A  ->  ph )
)
2928adantll 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  e.  A  ->  ph )
)
3025, 29ralrimi 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  /\  y  e.  A
)  ->  A. x  e.  A  ph )
3130ex 425 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  ->  ( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
3217, 31ralrimi 2626 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
3332ex 425 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
)
3414, 33pm2.61i 158 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1528    = wceq 1624    e. wcel 1685   F/_wnfc 2408   A.wral 2545
This theorem is referenced by:  tz7.48lem  6449  tratrb  27571  tratrbVD  27906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ral 2550
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