MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralrnmpt Structured version   Unicode version

Theorem ralrnmpt 5878
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralrnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
ralrnmpt.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
ralrnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. x  e.  A  ch ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, B    ch, y    y, F    ps, x
Allowed substitution hints:    ps( y)    ch( x)    A( y)    B( x)    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem ralrnmpt
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralrnmpt.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
21fnmpt 5571 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
3 dfsbcq 3163 . . . . 5  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( [. w  /  y ]. ps  <->  [. ( F `  z )  /  y ]. ps ) )
43ralrn 5873 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. w  e.  ran  F
[. w  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  A  [. ( F `  z
)  /  y ]. ps ) )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  A  [. ( F `  z )  /  y ]. ps ) )
6 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ w ps
7 nfsbc1v 3180 . . . . 5  |-  F/ y
[. w  /  y ]. ps
8 sbceq1a 3171 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  y ]. ps ) )
96, 7, 8cbvral 2928 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps )
109bicomi 194 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps  <->  A. y  e.  ran  F ps )
11 nfmpt1 4298 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
121, 11nfcxfr 2569 . . . . . 6  |-  F/_ x F
13 nfcv 2572 . . . . . 6  |-  F/_ x
z
1412, 13nffv 5735 . . . . 5  |-  F/_ x
( F `  z
)
15 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ x ps
1614, 15nfsbc 3182 . . . 4  |-  F/ x [. ( F `  z
)  /  y ]. ps
17 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ z
[. ( F `  x )  /  y ]. ps
18 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
19 dfsbcq 3163 . . . . 5  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  x )  ->  ( [. ( F `  z
)  /  y ]. ps 
<-> 
[. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( [. ( F `  z
)  /  y ]. ps 
<-> 
[. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
2116, 17, 20cbvral 2928 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  [. ( F `  z )  /  y ]. ps  <->  A. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps )
225, 10, 213bitr3g 279 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
231fvmpt2 5812 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( F `  x
)  =  B )
24 dfsbcq 3163 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  ( [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<-> 
[. B  /  y ]. ps ) )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. ( F `
 x )  / 
y ]. ps  <->  [. B  / 
y ]. ps ) )
26 ralrnmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2726sbcieg 3193 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( [. B  /  y ]. ps  <->  ch ) )
2827adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. B  / 
y ]. ps  <->  ch )
)
2925, 28bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. ( F `
 x )  / 
y ]. ps  <->  ch )
)
3029ralimiaa 2780 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  ch ) )
31 ralbi 2842 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<->  ch )  ->  ( A. x  e.  A  [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<-> 
A. x  e.  A  ch ) )
3230, 31syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  A. x  e.  A  ch ) )
3322, 32bitrd 245 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   [.wsbc 3161    e. cmpt 4266   ran crn 4879    Fn wfn 5449   ` cfv 5454
This theorem is referenced by:  rexrnmpt  5879  ac6num  8359  gsumwspan  14791  dfod2  15200  ordtbaslem  17252  ordtrest2lem  17267  cncmp  17455  ptpjopn  17644  ordthmeolem  17833  tsmsfbas  18157  tsmsf1o  18174  prdsxmetlem  18398  prdsbl  18521  metdsf  18878  metdsge  18879  minveclem1  19325  minveclem3b  19329  minveclem6  19335  mbflimsup  19558  xrlimcnp  20807  minvecolem1  22376  minvecolem5  22383  minvecolem6  22384  cvmsss2  24961  comppfsc  26387  prdsbnd  26502  rrnequiv  26544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462
  Copyright terms: Public domain W3C validator