MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralrnmpt Unicode version

Theorem ralrnmpt 5837
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralrnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
ralrnmpt.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
ralrnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. x  e.  A  ch ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, B    ch, y    y, F    ps, x
Allowed substitution hints:    ps( y)    ch( x)    A( y)    B( x)    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem ralrnmpt
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralrnmpt.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
21fnmpt 5530 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
3 dfsbcq 3123 . . . . 5  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( [. w  /  y ]. ps  <->  [. ( F `  z )  /  y ]. ps ) )
43ralrn 5832 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. w  e.  ran  F
[. w  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  A  [. ( F `  z
)  /  y ]. ps ) )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  A  [. ( F `  z )  /  y ]. ps ) )
6 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ w ps
7 nfsbc1v 3140 . . . . 5  |-  F/ y
[. w  /  y ]. ps
8 sbceq1a 3131 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  y ]. ps ) )
96, 7, 8cbvral 2888 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps )
109bicomi 194 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps  <->  A. y  e.  ran  F ps )
11 nfmpt1 4258 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
121, 11nfcxfr 2537 . . . . . 6  |-  F/_ x F
13 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x
z
1412, 13nffv 5694 . . . . 5  |-  F/_ x
( F `  z
)
15 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ x ps
1614, 15nfsbc 3142 . . . 4  |-  F/ x [. ( F `  z
)  /  y ]. ps
17 nfv 1626 . . . 4  |-  F/ z
[. ( F `  x )  /  y ]. ps
18 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
19 dfsbcq 3123 . . . . 5  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  x )  ->  ( [. ( F `  z
)  /  y ]. ps 
<-> 
[. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( [. ( F `  z
)  /  y ]. ps 
<-> 
[. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
2116, 17, 20cbvral 2888 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  [. ( F `  z )  /  y ]. ps  <->  A. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps )
225, 10, 213bitr3g 279 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
231fvmpt2 5771 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( F `  x
)  =  B )
24 dfsbcq 3123 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  ( [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<-> 
[. B  /  y ]. ps ) )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. ( F `
 x )  / 
y ]. ps  <->  [. B  / 
y ]. ps ) )
26 ralrnmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2726sbcieg 3153 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( [. B  /  y ]. ps  <->  ch ) )
2827adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. B  / 
y ]. ps  <->  ch )
)
2925, 28bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. ( F `
 x )  / 
y ]. ps  <->  ch )
)
3029ralimiaa 2740 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  ch ) )
31 ralbi 2802 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<->  ch )  ->  ( A. x  e.  A  [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<-> 
A. x  e.  A  ch ) )
3230, 31syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  A. x  e.  A  ch ) )
3322, 32bitrd 245 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ps  <->  A. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   [.wsbc 3121    e. cmpt 4226   ran crn 4838    Fn wfn 5408   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  rexrnmpt  5838  ac6num  8315  gsumwspan  14746  dfod2  15155  ordtbaslem  17206  ordtrest2lem  17221  cncmp  17409  ptpjopn  17597  ordthmeolem  17786  tsmsfbas  18110  tsmsf1o  18127  prdsxmetlem  18351  prdsbl  18474  metdsf  18831  metdsge  18832  minveclem1  19278  minveclem3b  19282  minveclem6  19288  mbflimsup  19511  xrlimcnp  20760  minvecolem1  22329  minvecolem5  22336  minvecolem6  22337  cvmsss2  24914  comppfsc  26277  prdsbnd  26392  rrnequiv  26434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421
  Copyright terms: Public domain W3C validator