Theorem rankc2 4686

Description: A relationship that can be used for computation of rank.

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
rankc2	|- (E.x e. A (rank` x) = (rank` U.A) -> (rank` A) = suc (rank` U.A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem rankc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 2752	. . . . 5 |- A (_ P~U.A
2		rankr1b.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
3	2	uniex 2865	. . . . . . 7 |- U.A e. V
4	3	pwex 2740	. . . . . 6 |- P~U.A e. V
5	4	rankss 4668	. . . . 5 |- (A (_ P~U.A -> (rank` A) (_ (rank` P~U.A))
6	1, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- (rank` A) (_ (rank` P~U.A)
7	3	rankpw 4664	. . . 4 |- (rank` P~U.A) = suc (rank` U.A)
8	6, 7	sseqtr 2089	. . 3 |- (rank` A) (_ suc (rank` U.A)
9	8	a1i 8	. 2 |- (E.x e. A (rank` x) = (rank` U.A) -> (rank` A) (_ suc (rank` U.A))
10		eleq1 1531	. . . . 5 |- ((rank` x) = (rank` U.A) -> ((rank` x) e. (rank` A) <-> (rank` U.A) e. (rank` A)))
11	2	rankel 4660	. . . . 5 |- (x e. A -> (rank` x) e. (rank` A))
12	10, 11	syl5cbi 209	. . . 4 |- (x e. A -> ((rank` x) = (rank` U.A) -> (rank` U.A) e. (rank` A)))
13	12	r19.23aiv 1740	. . 3 |- (E.x e. A (rank` x) = (rank` U.A) -> (rank` U.A) e. (rank` A))
14		rankon 4651	. . . 4 |- (rank` U.A) e. On
15		rankon 4651	. . . 4 |- (rank` A) e. On
16	14, 15	onsucss 3106	. . 3 |- ((rank` U.A) e. (rank` A) <-> suc (rank` U.A) (_ (rank` A))
17	13, 16	sylib 198	. 2 |- (E.x e. A (rank` x) = (rank` U.A) -> suc (rank` U.A) (_ (rank` A))
18	9, 17	eqssd 2075	1 |- (E.x e. A (rank` x) = (rank` U.A) -> (rank` A) = suc (rank` U.A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043  P~cpw 2397  U.cuni 2498  suc csuc 2945  ` cfv 3177  rankcrnk 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-r1 4623  df-rank 4624

Copyright terms: Public domain