Theorem rankon 4658

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79.

Assertion

Ref	Expression
rankon	|- (rank` A) e. On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankvalg 4656	. . 3 |- (A e. V -> (rank` A) = |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)})
2		rankwflem 4652	. . . . 5 |- (A e. V -> E.x e. On A e. (R1` suc x))
3		rabn0 2290	. . . . 5 |- ({x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/) <-> E.x e. On A e. (R1` suc x))
4	2, 3	sylibr 200	. . . 4 |- (A e. V -> {x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/))
5		ssrab2 2129	. . . . 5 |- {x e. On | A e. (R1` suc x)} (_ On
6		oninton 3009	. . . . 5 |- (({x e. On | A e. (R1` suc x)} (_ On /\ {x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/)) -> |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)} e. On)
7	5, 6	mpan 694	. . . 4 |- ({x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/) -> |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)} e. On)
8	4, 7	syl 10	. . 3 |- (A e. V -> |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)} e. On)
9	1, 8	eqeltrd 1547	. 2 |- (A e. V -> (rank` A) e. On)
10		fvprc 3718	. . 3 |- (-. A e. V -> (rank` A) = (/))
11		0elon 3019	. . 3 |- (/) e. On
12	10, 11	syl6eqel 1555	. 2 |- (-. A e. V -> (rank` A) e. On)
13	9, 12	pm2.61i 126	1 |- (rank` A) e. On

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 957   =/= wne 1584  E.wrex 1645  {crab 1647  Vcvv 1809   (_ wss 2045  (/)c0 2278  |^|cint 2530  Oncon0 2945  suc csuc 2947  ` cfv 3179  R1cr1 4628  rankcrnk 4629

This theorem is referenced by:  rankr1lem 4660  rankr1 4661  ssrankr1 4663  rankr1a 4664  rankel 4667  rankval3 4668  bndrank 4669  unbndrank 4670  rankpw 4671  rankss 4675  ranksn 4676  rankuni2 4677  rankun 4678  rankpr 4679  r1rankid 4681  rankonid 4682  rankr1id 4684  rankuni 4685  rankr1b 4686  rankuniss 4688  rankval4 4689  rankbnd2 4691  rankc1 4692  rankc2 4693  rankelun 4694  rankelpr 4695  rankelop 4696  rankxplim 4699  rankxplim3 4701  rankxpsuc 4702  scottex 4703  scott0 4704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-r1 4630  df-rank 4631

Copyright terms: Public domain